Si n es un número entero y positivo, ¿cuál es el valor de la suma: 3 + 33 + 333 + ... + 3n? A) ro"-9n-10 B) 10"1+9n-10 C) 10 -9n-10 D) 1 O -9n1- ...

La respuesta correcta es (A).

Explicación:

La suma se puede expresar como:

3 + 33 + 333 + ... + 3n = 3(1 + 11 + 111 + ... + 10n)

Para calcular la suma de la serie 1 + 11 + 111 + ... + 10n, podemos usar la fórmula del término general de una progresión aritmética:

a_n = a_1 + (n - 1)d

donde:

• a_n es el término n-ésimo de la progresión
• a_1 es el primer término de la progresión
• d es la diferencia entre dos términos consecutivos de la progresión

En este caso, el primer término es 1 y la diferencia es 10. Por lo tanto, el término general de la serie es:

a_n = 1 + (n - 1)10 = 10n - 9

La suma de la serie es:

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n
S_n = \frac{1 + (10n - 9)}{2} \cdot n
S_n = \frac{10n^2 - 9n}{2}
S_n = 5n^2 - \frac{9}{2}n

Por lo tanto, la suma de la serie original es:

3(5n^2 - \frac{9}{2}n) = 15n^2 - \frac{27}{2}n
= 15n(n - \frac{9}{10})
= 15n - \frac{9n}{10}
= \boxed{10n - \frac{9n}{10} - 10}

Otra forma de resolver el problema:

La suma se puede expresar como:

3 + 33 + 333 + ... + 3n = \frac{3(1 + 10 + 10^2 + ... + 10^n)}{10}

Para calcular la suma de la serie 1 + 10 + 10^2 + ... + 10^n, podemos usar la fórmula de la suma de una serie geométrica:

S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}

donde:

• a_1 es el primer término de la serie
• r es la razón entre dos términos consecutivos de la serie

En este caso, el primer término es 1 y la razón es 10. Por lo tanto, la suma de la serie es:

S_n = \frac{1(1 - 10^n)}{1 - 10}
S_n = \frac{10^n - 1}{-9}
S_n = -\frac{10^n - 1}{9}

Por lo tanto, la suma de la serie original es:

\frac{3(1 - \frac{10^n - 1}{9})}{10}
= \frac{3 - \frac{3(10^n - 1)}{90}}{10}
= \frac{30 - (10^n - 1)}{30}
= \frac{10^n - 1}{10} - 1
= \boxed{10n - \frac{9n}{10} - 10}