A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Sea la función f(x) =  1− senx x si x < 0 x e4−x 2 si x ≥ 0 a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y l...

Solución:

a) Para estudiar la continuidad de f en x = 0, debemos estudiar la continuidad de cada una de las expresiones que definen a f en x = 0.

La expresión 1 - senx/x es continua en x = 0, ya que senx/x es continua en x = 0.

La expresión xe4-x2 es continua en x = 0, ya que x e4-x2 es continua en x = 0.

Por tanto, la función f es continua en x = 0.

Para estudiar la derivabilidad de f en x = 0, debemos estudiar la derivabilidad de cada una de las expresiones que definen a f en x = 0.

La derivada de 1 - senx/x en x = 0 es

(1 - senx/x)' = (-1/x^2) * cosx = 0

La derivada de xe4-x2 en x = 0 es

(xe4-x2)' = e4-x2 - 2x * e4-x2 = 2x * e4-x2

Como 2x * e4-x2 es continua en x = 0, la función f es derivable en x = 0.

b) Para determinar los extremos relativos de f(x) en (0,∞), debemos calcular la derivada de f(x) y analizar sus signos.

La derivada de f(x) es

f'(x) =
 (x + 1) e4−x2
si x > 0
−1/x + 4(x - 1) e4−x2
si x < 0

La derivada de f(x) es 0 para x = 0 y x = 1.

La derivada de f(x) es positiva para x > 1 y x < 0.

La derivada de f(x) es negativa para 0 < x < 1.

Por tanto, f(x) tiene un mínimo relativo en x = 1 y un máximo relativo en x = 0.

c) Para calcular

∫ 2
0
f(x) dx

dividimos el intervalo de integración en dos subintervalos:

[2, 1] y [1, 0]

En el primer subintervalo, la función f(x) es continua y derivable, por lo que podemos utilizar la fórmula de la integral definida:

∫ 2
1
f(x) dx = f(1)(x - 1)/2

En el segundo subintervalo, la función f(x) es continua pero no derivable en x = 1, por lo que utilizamos la fórmula de la integral definida por partes:

∫ 1
0
f(x) dx = f(1)x/2 - ∫ 1
0
f'(x) dx

Por tanto, tenemos que

∫ 2
0
f(x) dx =
(x - 1)/2 + (1 - x)/2 - ∫ 1
0
(x + 1) e4−x2 dx

Calculando la integral, obtenemos

∫ 2
0
f(x) dx = 1/2

Por tanto, la respuesta es 1/2.

Respuesta:

a) La función f es continua y derivable en x = 0.

b) f(x) tiene un mínimo relativo en x = 1 y un máximo relativo en x = 0.

c) ∫ 2 0 f(x) dx = 1/2.