Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a { ???? + 2???????? + ???? = 0 −???? − ???????? = 1 −???? − ???? = −???? a) Discuta el sistema en...

a) Discusión del sistema en función de los valores del parámetro real a

El sistema de ecuaciones depende del parámetro real a de la siguiente manera:

• La primera ecuación es un polinomio cuadrático en x. El discriminante de este polinomio es 4a2 - 4 * 2 * 1 = 4a2 - 8. Este discriminante es negativo para a < 2, cero para a = 2 y positivo para a > 2. Por lo tanto, el sistema tiene dos soluciones reales para a < 2, una solución real para a = 2 y dos soluciones complejas para a > 2.
• La segunda ecuación es un polinomio lineal en x. El discriminante de este polinomio es 4a2 - 4 * (-1) * 1 = 4a2 + 4. Este discriminante es siempre positivo, por lo que la ecuación tiene dos soluciones reales para cualquier valor de a.
• La tercera ecuación es un polinomio cuadrático en x. El discriminante de este polinomio es 4a2 - 4 * 2 * (-1) = 4a2 + 8. Este discriminante es positivo para a > -2, cero para a = -2 y negativo para a < -2. Por lo tanto, el sistema tiene dos soluciones reales para a > -2, una solución real para a = -2 y dos soluciones complejas para a < -2.

b) Solución del sistema para a = 3

Para a = 3, la primera ecuación se convierte en:

x^2 + 6x + 9 = 0

La segunda ecuación se convierte en:

-3x - 3 = 1

La tercera ecuación se convierte en:

-3x - x = -3

Solucionando la primera ecuación, obtenemos:

(x + 3)^2 = 0
x + 3 = 0
x = -3

Solucionando la segunda ecuación, obtenemos:

-3x - 3 = 1
-3x = 4
x = -4/3

Solucionando la tercera ecuación, obtenemos:

-3x - x = -3
-4x = -3
x = 3/4

Por lo tanto, las soluciones del sistema para a = 3 son:

x = -3
x = -4/3
x = 3/4

Respuesta

Las soluciones del sistema son las siguientes:

• Para a < 2, el sistema tiene dos soluciones reales.
• Para a = 2, el sistema tiene una solución real.
• Para a > 2, el sistema tiene dos soluciones complejas.

Para a = 3, las soluciones del sistema son:

x = -3
x = -4/3
x = 3/4