A.1. ( 2 pontos) Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a: x+ ay = 0 x+ 2z = 0 x+ ay + (a+ 1)z = a  a) Di...

Solución

a)

El sistema de ecuaciones lineales es:

x + ay = 0
x + 2z = 0
x + ay + (a + 1)z = a

Un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única si el determinante de la matriz asociada es distinto de 0. El determinante de la matriz asociada al sistema dado es:

|
a 1
1 2
a + 1 1
|

Expandiendo el determinante, obtenemos:

(a + 1) - 2a = -a + 1

El determinante es distinto de 0 si a ≠ -1. Por lo tanto, el sistema tiene una solución única si a ≠ -1.

Si a = -1, el determinante es igual a 0. En este caso, el sistema tiene infinitas soluciones.

b)

Para resolver el sistema para a = 0, sustituimos a = 0 en las ecuaciones del sistema:

x + ay = 0
x + 2z = 0
x + ay + (a + 1)z = a

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 0y = 0
x + 2z = 0
x + 0y + (0 + 1)z = 0

Simplificando, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

x = 0
x + 2z = 0

De la primera ecuación, x = 0. Sustituyendo x = 0 en la segunda ecuación, obtenemos:

0 + 2z = 0
2z = 0
z = 0

Por lo tanto, la solución del sistema para a = 0 es x = 0, y = 0, y z = 0.

Respuesta

a)

El sistema tiene una solución única si a ≠ -1. Si a = -1, el sistema tiene infinitas soluciones.

b)

La solución del sistema para a = 0 es x = 0, y = 0, y z = 0.