B.1. (2 pontos) Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a ∈ R: x+ ay + z = 2 x− az = 0 x+ y + z = 2  a) Discuta la...

Solución:

a)

El sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0. El determinante de la matriz de coeficientes es:

|
1 a 1
1 -a 1
1 1 1
|

Factorizando el determinante, se obtiene:

|
1 a 1
1 -a 1
1 1 1
| = (1 - a)

Por lo tanto, el sistema es compatible si y solo si a ≠ 1.

• Si a = 1, el sistema es incompatible, ya que el determinante es 0.
• Si a ≠ 1, el sistema es compatible, y tiene una solución única.

b)

Para a = 0, el sistema de ecuaciones lineales es:

x + y + z = 2
x = 0
x + y + z = 2


Reemplazando la segunda ecuación en la tercera, se obtiene:

y + z = 2

Por lo tanto, la solución del sistema es:

x = 0
y = 1
z = 1

Respuesta:

• a) El sistema es compatible si y solo si a ≠ 1.
• b) La solución del sistema para a = 0 es x = 0, y = 1, z = 1.