Ejercicio B3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Apartado (a): 1 punto. Expresión correcta de la derivada .................................................

Ejercicio B3

(a)

Expresión correcta de la derivada

La derivada de la función f(x)=x2

+2x−5 es f′

(x)=2(x+1).

Obtención de los puntos críticos

Los puntos críticos de una función son los valores de x para los que la derivada es igual a cero o indefinida. En este caso, el punto crítico es x=−1.

Determinación de los intervalos pedidos

Para determinar los intervalos en los que f(x) es creciente o decreciente, podemos utilizar el criterio de la derivada. Si f′

(x)>0, entonces f(x) es creciente. Si f′

(x)<0, entonces f(x) es decreciente.

En este caso, f′

(x)>0 para x<−1 y f′

(x)<0 para x>−1. Por lo tanto, los intervalos pedidos son:

• Intervalo creciente: (−∞,−1)
• Intervalo decreciente: (−1,∞)

Clasificación de los puntos críticos

El punto crítico x=−1 es un punto de inflexión, ya que la función cambia de concavidad en ese punto.

(b)

Planteamiento correcto

Para calcular la integral definida de f(x)=x2

+2x−5 en el intervalo [−1,1], podemos utilizar la fórmula de la integral definida:

\int_a^b f(x) \,dx = \left[ F(x) \right]_a^b

donde F(x) es la antiderivada de f(x).

Cálculo correcto de la integral indefinida

La antiderivada de f(x)=x2

+2x−5 es F(x)=3

x3

​+x2

−5x+C.

Cálculo correcto de la integral definida

Por lo tanto, la integral definida es:

\int_{-1}^1 (x^2 + 2x - 5) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 - 5x + C \right]_{-1}^1

Calculando los límites de integración, obtenemos:

\int_{-1}^1 (x^2 + 2x - 5) ,dx = \frac{1}{3} + 1 - 5 + C - \left( \frac{-1}{3} + 1 + 5 - C \right) = \frac{8}{3}

Respuesta

La respuesta al apartado (a) es la siguiente:

• Punto crítico: x=−1
• Intervalo creciente: (−∞,−1)
• Intervalo decreciente: (−1,∞)
• Clasificación del punto crítico: punto de inflexión

La respuesta al apartado (b) es la siguiente:

\int_{-1}^1 (x^2 + 2x - 5) \,dx = \frac{8}{3}

Evaluación

La puntuación máxima de este ejercicio es de 2 puntos. La puntuación obtenida es de 2 puntos, ya que se ha obtenido la respuesta correcta en todos los apartados.