Ejercicio A.5. (Puntuación máxima: 2 puntos) Apartado (a): 1 punto. Planteamiento correcto del intervalo de confianza ................................

Respuesta:

Apartado (a)

0,25 puntos:

El intervalo de confianza se plantea de la siguiente manera:

Se quiere estimar la media poblacional μ de una distribución normal con desviación típica σ conocida, a partir de una muestra de tamaño n.

0,25 puntos:

Se tiene que:

μ ∈ [x̄ - zα/2σ/√n, x̄ + zα/2σ/√n]

donde:

• x̄ es la media muestral.
• zα/2 es el valor crítico de la distribución normal estándar, con un nivel de confianza de 1 - α.

0,50 puntos:

Sustituyendo los valores dados en el enunciado, se obtiene el intervalo de confianza:

μ ∈ [10 - 1,96σ/√10, 10 + 1,96σ/√10]

Puntuación:

0,75 puntos.

Apartado (b)

0,25 puntos:

La fórmula del error es:

e = zα/2σ/√n

0,25 puntos:

Se tiene que:

zα/2 = 1,96
σ = 2
n = 10
e = 1,96 * 2 / √10 = 0,74

0,50 puntos:

Para que el error sea de 0,5, se debe cumplir que:

0,5 = 1,96σ/√n
σ/√n = 0,5/1,96
σ = 0,5 * √n / 1,96
σ = 0,27 * √n
n = (0,27 * √n)^2 / 0,5^2
n = 121,69
n = 122

Puntuación:

1,25 puntos.

Total:

2 puntos.

Observaciones:

• La respuesta es correcta y cumple con los estándares de aprendizaje evaluables.
• La respuesta es clara y concisa.
• La respuesta utiliza el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.
• La respuesta utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.

Recomendaciones:

• En el apartado (a), se podría mencionar que el intervalo de confianza es un intervalo de confianza de dos colas, con un nivel de confianza de 95 %.
• En el apartado (b), se podría mencionar que el tamaño de la muestra es el número de individuos que se deben extraer de la población para obtener un intervalo de confianza con un error dado.

Explicación del apartado (b)

Para calcular el tamaño de la muestra, se utiliza la siguiente fórmula:

n = (zα/2σ)^2 / e^2

donde:

• zα/2 es el valor crítico de la distribución normal estándar, con un nivel de confianza de 1 - α.
• σ es la desviación típica poblacional.
• e es el error.

En este caso, se tiene que:

n = (1,96 * 2)^2 / 0,5^2
n = 121,69
n = 122

Por lo tanto, para que el error sea de 0,5, se debe extraer una muestra de tamaño 122 individuos.