Se consideran los puntos A(3, 1, 2), B(0, 3, 4) y P (−1, 1, 0). Se pide: a) (0.75 puntos) Determinar las coordenadas de un punto Q sabiendo que los...

Solución:

a)

Como los vectores →AB y →PQ son lineal-mente dependientes, tienen sentidos opuestos y tienen el mismo módulo, entonces

→PQ es el vector negativo de →AB.

Por lo tanto, las coordenadas del punto Q son:

Q = A - 2 * AB
Q = (3, 1, 2) - 2 * (0, 3, 4)
Q = (3, 1, 2) - (0, 6, 8)
Q = (3, -5, -6)

Respuesta: Las coordenadas del punto Q son (3, -5, -6).

b)

Para determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas r y s, podemos utilizar el siguiente método:

1. Encontrar la ecuación de la recta r.
2. Encontrar la ecuación de la recta s.
3. Igualar las dos ecuaciones y resolver el sistema resultante.

La ecuación de la recta r es:

x = 3 + t
y = 1 + t
z = 2

La ecuación de la recta s es:

x = 0 + t
y = 3 - 2t
z = 4 - 3t

Igualando las dos ecuaciones, obtenemos el sistema:

3 + t = 0 + t
1 + t = 3 - 2t
2 = 4 - 3t

Solucionando este sistema, obtenemos el punto de intersección (1, 2, 1).

Respuesta: Las coordenadas del punto de intersección son (1, 2, 1).

c)

El coseno del ángulo formado por →PA y →PB es:

cos θ =
(→PA
⋅
→PB)
||→PA||
||→PB||
cos θ =
(3i + j + 2k
⋅
(−1i + 1j + 4k)
)
||(3i + j + 2k)||
||(−1i + 1j + 4k)||
cos θ =
(3 * (−1) + 1 * 1 + 2 * 4)
√(3^2 + 1^2 + 2^2)
√(−1^2 + 1^2 + 4^2)
cos θ =
5
√14
√20
cos θ =
5
2√7
θ = arccos (5/(2√7))
θ ≈ 37.4°

Respuesta: El coseno del ángulo es 5/(2√7), y el ángulo es de aproximadamente 37.4°.