Dadas las rectas r : { x+ 2z = 1 y + z = 2 y s : { x = −3 + 2λ y = 2− λ z = 1 + λ a) (0.75 puntos) Hallar la distancia del origen a la recta s....

Solución:

a)

La distancia del origen a la recta s es igual a la distancia del vector director de la recta s al origen. El vector director de la recta s es:

v = (2, -1, 1)

La distancia del vector director de la recta s al origen es:

||v|| = ||(2, -1, 1)|| = √(2^2 + (-1)^2 + 1^2) = √6

Por lo tanto, la distancia del origen a la recta s es √6.

b)

Las ecuaciones de las rectas r y s son:

r : x + 2z = 1
y + z = 2
s : x = −3 + 2λ
y = 2− λ
z = 1 + λ

Para determinar la posición relativa de las rectas r y s, podemos calcular el determinante de la siguiente matriz:

| r1 - s1 | | r2 - s2 | | r3 - s3 |
| 1   0   2 | | 2  -1  1 | | -3  2  1 |

El determinante de esta matriz es:

| r1 - s1 | | r2 - s2 | | r3 - s3 |
| 1   0   2 | | 2  -1  1 | | -3  2  1 | = -1

Como el determinante es negativo, las rectas r y s son perpendiculares.

c)

Para encontrar la ecuación de una recta perpendicular comú́n a ambas rectas, podemos utilizar el siguiente método:

1. Encontrar un punto de intersección de las rectas r y s.
2. Encontrar el vector normal a la recta r.
3. Encontrar el vector normal a la recta s.
4. Encontrar la ecuación de la recta perpendicular a las rectas r y s que pasa por el punto de intersección y tiene como vector normal el vector normal a la recta r.

Para encontrar un punto de intersección de las rectas r y s, podemos resolver el sistema de ecuaciones:

x + 2z = 1
y + z = 2
x = −3 + 2λ
y = 2− λ
z = 1 + λ

Solucionando este sistema, obtenemos el punto de intersección (1, 1, 0).

El vector normal a la recta r es:

v = (2, -1, 1)

El vector normal a la recta s es:

w = (2, 1, -1)

La ecuación de la recta perpendicular a las rectas r y s que pasa por el punto de intersección (1, 1, 0) y tiene como vector normal el vector normal a la recta r es:

(x - 1)/2 = (y - 1)/-1 = (z - 0)/(-1)
2x - 2 = -y + 1 = -z
2x + y + z = 3

Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular comú́n a ambas rectas es 2x + y + z = 3.

Respuestas:

a) √6 b) Perpendiculares c) 2x + y + z = 3