B.2. ( 2 pontos) La región del plano S está definida por las siguientes expresiones: x ≥ 3, 0 ≤ y ≤ 15, y − 5 + x 2 ≥ 0, y − x ≤ 10, y + 20 ≥ 2x a)...

Solución

a)

Las ecuaciones que definen la región S son:

• x ≥ 3
• 0 ≤ y ≤ 15
• y − 5 + x 2 ≥ 0
• y − x ≤ 10
• y + 20 ≥ 2x

La ecuación y − 5 + x 2 ≥ 0 representa una parábola con vértice en (5, 0) y eje vertical. La ecuación y − x ≤ 10 representa una recta que pasa por los puntos (10, 10) y (0, 0). La ecuación y + 20 ≥ 2x representa una recta que pasa por los puntos (0, 20) y (20, 10).

La región S está delimitada por las siguientes rectas:

• x = 3
• y = 0
• y = 15
• y = 5 + x 2
• y = x + 10
• y = 20 - 2x

La región S es un trapecio isósceles con vértices en los puntos (3, 0), (3, 5), (15, 15) y (20, 10).

Representación en el plano

Python

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def plot_trapezoid(vertices):
    x_min, x_max = min(vertices[:, 0]), max(vertices[:, 0])
    y_min, y_max = min(vertices[:, 1]), max(vertices[:, 1])

    plt.plot([x_min, x_max], [y_min, y_min], 'k')
    plt.plot([x_min, x_min], [y_min, y_max], 'k')
    plt.plot([x_max, x_max], [y_min, y_max], 'k')
    plt.plot([x_min, x_max], [y_max, y_max], 'k')

    for i in range(len(vertices)):
        plt.plot([vertices[i, 0], vertices[(i + 1) % len(vertices), 0]], [vertices[i, 1], vertices[(i + 1) % len(vertices), 1]], 'k')

vertices = np.array([(3, 0), (3, 5), (15, 15), (20, 10)])

plot_trapezoid(vertices)
plt.show()

Imagen de la representación en el plano

b)

Para obtener el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x, y) = x + y en la región S, debemos resolver el siguiente sistema de desigualdades:

x + y ≥ f(x, y)
0 ≤ y ≤ 15
x ≥ 3
y − 5 + x
2
≥ 0
y − x ≤ 10
y + 20 ≥ 2x

Resolviendo el sistema de desigualdades, obtenemos que el valor mínimo de la función f(x, y) = x + y en la región S es 3 y el valor máximo es 23.

Los puntos en los cuales se alcanzan estos valores son:

• Valor mínimo: (3, 0)
• Valor máximo: (20, 10)

Cálculo del valor mínimo

El valor mínimo de la función f(x, y) = x + y en la región S se alcanza en el punto (3, 0), ya que este punto está en el borde de la región S y es el punto más bajo de la región.

El valor mínimo es:

f(3, 0) = 3 + 0 = 3

Cálculo del valor máximo

El valor máximo de la función f(x, y) = x + y en la región S se alcanza en el punto (20, 10), ya que este punto está en el borde de la región S y es el punto más alto de la región.

El valor máximo es:

f(20, 10) = 20 + 10 = 23