B.3. ( 2 pontos) Se considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión: f(x) = 3(x+ k)e −x 2 a) Indique el dominio de la fu...

Solución

a)

El dominio de la función f(x) es el conjunto de todos los números reales x tales que x + k ≥ 0, es decir, el conjunto de todos los números reales x ≥ -k.

Para que la tangente a la función f(x) en el punto de abscisa x = 1 sea horizontal, la pendiente de la tangente debe ser igual a 0. La pendiente de la tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. Por lo tanto, para que la tangente a la función f(x) en el punto de abscisa x = 1 sea horizontal, la derivada de la función en ese punto debe ser igual a 0.

La derivada de la función f(x) es:

f'(x) = 3e
−x
2(x + k) − 3(x + k)2e
−x
2

Sustituyendo x = 1 en la expresión de f'(x), obtenemos:

f'(1) = 3e
−1
2(1 + k) − 3(1 + k)2e
−1
2

Para que f'(1) = 0, debe cumplirse que:

3(1 + k) − 3(1 + k)2 = 0

Resolviendo la ecuación anterior, obtenemos k = -1/2.

Por lo tanto, el valor del parámetro real k para que la tangente a la función en el punto de abscisa x = 1 sea horizontal es k = -1/2.

La ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x = 1 es:

y - f(1) = f'(1)(x - 1)

Sustituyendo f(1) = 3e −1 2 y f'(1) = 0 en la expresión anterior, obtenemos:

y - 3e
−1
2 = 0(x - 1)
y = 3e
−1
2

b)

Para k = 1, la función f(x) es:

f(x) = 3(x + 1)e
−x
2

La derivada de la función f(x) es:

f'(x) = 3e
−x
2(x + 1) − 3(x + 1)2e
−x
2

La función f(x) crece cuando f'(x) > 0 y decrece cuando f'(x) < 0.

Sustituyendo x = 1 en la expresión de f'(x), obtenemos:

f'(1) = 3e
−1
2(1 + 1) − 3(1 + 1)2e
−1
2
f'(1) = -12

Por lo tanto, la función f(x) decrece para x < 1 y crece para x ≥ 1.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) son:

• Intervalo de crecimiento: [1, +∞).
• Intervalo de decrecimiento: (-∞, 1].

Gráfica de la función

Python

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def f(x):
    return 3 * (x + 1) * np.exp(-x ** 2)

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = f(x)

plt.plot(x, y)
plt.grid()
plt.show()

La gráfica de la función f(x) es:

[Image of la gráfica de la función f(x)]

Como se puede observar, la función f(x) crece para x ≥ 1 y decrece para x < 1.