Dadas las rectas: a) (1 punto) Calcular la posición relativa de r y s b) (0,5 puntos) Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta r y q...

Solución

a) (1 punto)

Las rectas r y s son:

r ≡ {
x - y = 2
3x - z = -1
}
s ≡ {
x = -1 + 2λ
y = -4 - λ
z = λ
}

El vector director de la recta r es (-1, 1, -3).

El vector director de la recta s es (2, -1, 1).

Como los vectores directores son ortogonales, las rectas r y s son perpendiculares.

b) (0,5 puntos)

El vector normal al plano perpendicular a la recta r es (-1, 1, -3).

La ecuación del plano que pasa por el punto P (2, -1, 5) es:

(x - 2) - (y + 1) + 3(z - 5) = d

Resolvemos para obtener la ecuación en forma general:

x - y + 3z - 11 = 0

c) (1 punto)

El vector normal al plano paralelo a la recta r es (-1, 1, -3).

La ecuación del plano que pasa por el punto (-1 + 2λ, -4 - λ, λ) es:

(x - (-1 + 2λ)) - (y + 4 + λ) + 3(z - λ) = d

Para que el plano contenga a la recta s, esta ecuación debe cumplirse para cualquier valor de λ.

Por lo tanto, sustituimos el punto (-1 + 2λ, -4 - λ, λ) en la ecuación del plano:

(-1 + 2λ) - (-4 - λ) + 3(λ) = d

Resolvemos para obtener la ecuación en forma general:

3λ + 2 = d

Por lo tanto, la ecuación del plano es:

3x + 2y + z = 2

Respuesta

a) Las rectas r y s son perpendiculares.

b) La ecuación del plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P (2, -1, 5) es x - y + 3z - 11 = 0.

c) La ecuación del plano paralelo a la recta r que contiene a la recta s es 3x + 2y + z = 2.