A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dadas las funciones f(x) = x3 + 3x2 − 1 y g(x) = 6x, se pide: a) (0.5 puntos) Justificar, usando el teorema...

Solución

a) (0.5 puntos)

El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que si f(x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe al menos un punto c en el intervalo tal que f(c) = g(c).

En este caso, las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo cerrado [1, 10]. Por lo tanto, existe al menos un punto c en el intervalo tal que f(c) = g(c).

b) (1 punto)

La pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = c es f'(c).

Para calcular la pendiente mínima de la recta tangente, debemos encontrar el valor de c que minimiza f'(c).

La derivada de la función f(x) es f'(x) = 3x(x + 2).

El valor de c que minimiza f'(c) es c = -2.

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) con pendiente mínima es:

y - f(-2) = f'(-2)(x + 2)
y + 1 = 3(x + 2)
y = 3x + 5

c) (1 punto)

Para calcular la integral

∫ 2
1
f(x)
g(x)
dx,

primero debemos calcular el producto f(x) g(x).

f(x) g(x) = (x3 + 3x2 − 1) (6x) = 6x4 + 18x3 − 6x

Por lo tanto, la integral es:

∫ 2
1
f(x)
g(x)
dx = ∫ 2
1
(6x4 + 18x3 − 6x)
dx
= (x5 + 9x4 − 3x2)
2
|
2
1
= (32 + 96 − 12) − (32 − 96 − 12)
= 120

Por lo tanto, el valor de la integral es 120.

Respuesta

a) Existe al menos un punto en el intervalo [1, 10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.

b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) con pendiente mínima es y = 3x + 5.

c) El valor de la integral es 120.