B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dada la función f(x) = x2 − 3x + 2, se pide: a) (0.5 puntos) Determinar los puntos críticos de la funció...

Solución

a) (0.5 puntos)

La función f(x) = x2 − 3x + 2 es una función polinomial de segundo grado, por lo que su derivada primera es f'(x) = 2x − 3.

Los puntos críticos de la función son los valores de x para los que f'(x) = 0. En este caso, f'(x) = 0 para x = 3/2.

b) (0.5 puntos)

El punto crítico x = 3/2 es un punto de inflexión, ya que f''(x) = 2 > 0 para x > 3/2 y f''(x) = 2 < 0 para x < 3/2.

c) (1 punto)

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, debemos considerar los valores de la derivada primera.

Para x < 3/2, f'(x) < 0, por lo que la función es decreciente.

Para x > 3/2, f'(x) > 0, por lo que la función es creciente.

Por lo tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función son:

• Intervalo de crecimiento: (3/2, ∞).
• Intervalo de decrecimiento: (-∞, 3/2).

d) (0.5 puntos)

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la función, debemos considerar los valores de la segunda derivada.

La segunda derivada de la función es f''(x) = 2.

Para x < 3/2, f''(x) > 0, por lo que la función es convexa.

Para x > 3/2, f''(x) < 0, por lo que la función es cóncava.

Por lo tanto, los intervalos de concavidad y convexidad de la función son:

• Intervalo de convexidad: (-∞, 3/2).
• Intervalo de concavidad: (3/2, ∞).

e) (0.5 puntos)

Como se ha visto en el apartado anterior, el punto crítico x = 3/2 es un punto de inflexión, por lo que no hay otros puntos de inflexión.

Respuesta

a) Los puntos críticos de la función son x = 3/2. b) El punto crítico x = 3/2 es un punto de inflexión. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función son:

• Intervalo de crecimiento: (3/2, ∞).
• Intervalo de decrecimiento: (-∞, 3/2).

d) Los intervalos de concavidad y convexidad de la función son:

• Intervalo de convexidad: (-∞, 3/2).
• Intervalo de concavidad: (3/2, ∞).

e) No hay otros puntos de inflexión.