B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dada la función f(x) = x3 − 3x2 + 2x − 1, se pide: a) (0.5 puntos) Determinar los puntos críticos de la f...

B.2.

a)

La función f(x) = x^3 − 3x^2 + 2x − 1 tiene una derivada f'(x) = 3x(x - 1)^2.

La derivada f'(x) es igual a cero para x = 0, 1.

Por lo tanto, los puntos críticos de la función son x = 0 y x = 1.

Puntuación:

• 0.5 puntos: Determinación de los puntos críticos.

b)

Para clasificar los puntos críticos, debemos evaluar la segunda derivada de la función.

La segunda derivada de la función es f''(x) = 6x(x - 1).

f''(0) = 0, f''(1) = 6.

Como f''(1) > 0, el punto crítico x = 1 es un punto de mínimo.

f''(0) = 0, por lo que no podemos determinar si el punto crítico x = 0 es un punto de mínimo, máximo o punto de inflexión.

Puntuación:

• 0.5 puntos: Clasificación de los puntos críticos.

c)

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, debemos analizar los signos de la derivada f'(x).

f'(x) < 0 para x < 0 o x > 1.

f'(x) > 0 para 0 < x < 1.

Por lo tanto, la función crece en el intervalo (0, 1) y decrece en los intervalos (-∞, 0) y (1, ∞).

Puntuación:

• 1 punto: Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d)

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la función, debemos analizar los signos de la segunda derivada f''(x).

f''(x) < 0 para x < 0.

f''(x) > 0 para 0 < x < 1.

f''(x) < 0 para x > 1.

Por lo tanto, la función es cóncava para x < 0 y x > 1, y convexa para 0 < x < 1.

Puntuación:

• 0.5 puntos: Determinación de los intervalos de concavidad y convexidad.

e)

Para determinar los puntos de inflexión de la función, debemos analizar los cambios de concavidad.

El cambio de concavidad ocurre en el punto x = 0, que es un punto crítico.

Por lo tanto, el punto de inflexión de la función es x = 0.

Puntuación:

• 0.5 puntos: Determinación de los puntos de inflexión.

Total:

• B.2.a: 0.5 puntos
• B.2.b: 0.5 puntos
• B.2.c: 1 punto
• B.2.d: 0.5 puntos
• B.2.e: 0.5 puntos
• Total: 2.5 puntos