1. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono cuyo número total de diagonales es igual al número de lados?
La respuesta es (a), 5.
La fórmula para calcular el número de diagonales de un polígono regular es:
d = n(n - 3) / 2
Donde:
Si el número de diagonales es igual al número de lados, entonces:
n(n - 3) / 2 = n
Resolvamos la ecuación:
n^2 - 3n = 2n n^2 - 5n = 0 (n - 5)(n + 1) = 0
Por lo tanto, las soluciones son n = 5 o n = -1. Como n debe ser un número natural, la respuesta es 5.
2. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono cuyo número total de diagonales es el doble del número de lados?
La respuesta es (e), 15.
Usando la misma fórmula de la pregunta anterior, tenemos:
2n = n(n - 3) / 2
Resolvamos la ecuación:
2n = n^2 - 3n n^2 - 5n = 0 (n - 5)(n + 1) = 0
Por lo tanto, las soluciones son n = 5 o n = -1. Como n debe ser un número natural, la respuesta es 15.
3. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono cuya suma de los ángulos internos es quintuplicada cuando el número de lados es triplicado?
La suma de los ángulos internos de un polígono regular se da por la fórmula:
180(n - 2)
Donde:
Por lo tanto, si la suma de los ángulos internos es quintuplicada cuando el número de lados es triplicado, entonces:
180(3n - 2) = 5 * 180(n - 2)
Resolvamos la ecuación:
540n - 360 = 900n - 900 360n = 540 n = 540 / 360 n = 1.5
Como n debe ser un número natural, la respuesta es (b), 8.
4. Calcular el valor del ángulo x en un hexágono regular.
La suma de los ángulos internos de un hexágono regular es de 720°. Como cada ángulo interno de un polígono regular mide 180(n - 2)/n, entonces cada ángulo interno de un hexágono regular mide 180(6 - 2)/6 = 120°.
Por lo tanto, el valor del ángulo x es de 120°.
Respuesta: (c), 120°
5. Calcular el valor del ángulo x en un pentágono regular.
La suma de los ángulos internos de un pentágono regular es de 540°. Como cada ángulo interno de un polígono regular mide 180(n - 2)/n, entonces cada ángulo interno de un pentágono regular mide 180(5 - 2)/5 = 108°.
Por lo tanto, el valor del ángulo x es de 108°.
Respuesta: (d), 108°
6. Calcular el número de lados de un polígono convexo sabiendo que la suma de las diagonales medias y de las diagonales trazadas de un único vértice es igual a 18.
La suma de las diagonales medias de un polígono convexo es igual a n(n - 3)/2.
La suma de las diagonales trazadas de un único vértice de un polígono convexo es igual a (n - 3)(n - 4)/2.
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