Para la mejor comprensión de todo ello, apuntamos un sencillo ejemplo. Se tiene un subsistema hidráulico compuesto por sendas tuberías de PVC interconectadas (1) y (2) en bifurcación, de diámetros nominales 315 y 250 mm, timbradas a 10 bar, que funcionan en régimen permanente a una altura manométrica de 4.00 bar. Efectuadas las observaciones y mediciones pertinentes de las sobrepresiones máximas por el golpe de ariete originado por el cierre de una válvula que son, respectivamente, de 4.00 y 5.00 bar, se concluyen las siguientes relaciones entre ellas: 2P1,t+1 = 2P1,t - 3P2,t 2P2,t+1 = P1,t - 2P2,t Se desea estudiar la trayectoria temporal de las ondas de presión en cada tubería (Franquet, 2019). Solución: El sistema recurrente biecuacional reseñado, que es homogéneo y de coeficientes constantes, también puede escribirse así: P1,t+1 = P1,t – (3/2)P2,t P2,t+1 = (½)P1,t - P2,t y, así mismo, se cumple que: 2(P1,t+1 + P2,t+1) = 3P1,t - 5P2,t , o sea, por lo que se refiere a la presión de equilibrio (estática): 4Pe = 3Pe - 5Pe = -2Pe  6Pe = 0  Pe = 0, con Pe = 4.00 bar. Teniendo en cuenta que P1,0 = 4.00 bar y P2,0 = 5.00 bar, se puede expresar el sistema de ecuaciones en diferencias finitas anterior, en forma matricial, así: , y también: .                          t,2 t,1 1t,2 1t,1 P P · 12/1 2/31 P P                 0,2 0,1t t,2 t,1 P P ·A P P               5 4 · 12/1 2/31 t Así, por ejemplo, para t = 1, sucede que: , y de este modo se hallarían los diferentes valores de las sobrepresiones resultantes en cada instante temporal. En cualquier caso, la solución particular del sistema planteado conduciría a las expresiones respectivas: Tubería (1)  P1,t = 2-t-1[11(-1)t – 3] Tubería (2)  P2,t = 2-t-1[11(-1)t – 1] cumpliéndose que: , luego se trata de sendas sucesiones alternadas del tipo “convergentes infinitesimales”, puesto que su límite es cero, con las siguientes representaciones gráficas: Evolución temporal continua de las ondas de presión (tubería 1). Evolución temporal continua de las ondas de presión (tubería 2).         1,2 1,1 P P                       3 2/7 5 4 · 12/1 2/31 0PlimPlim t,2 t,1 t   y las tablas de valores respectivos de ambas tuberías son: La representación gráfica de la trayectoria temporal de las ondas de presión de ambas tuberías analizadas, donde se observan con suficiente claridad, durante los primeros seis segundos del transitorio hidráulico en cuestión, las diferencias de los “picos” de presión existentes entre ellas, es la siguiente: Evolución temporal discreta de las ondas de presión en ambas tuberías. Para formar la trayectoria temporal del sistema, debe elaborarse la siguiente tabla: En ella se observa la progresiva reducción de la diferencia que tiene lugar, cada instante temporal, entre los valores de las ondas de presión en ambas tuberías hasta anularse (teóricamente en el infinito) o alcanzar nuevamente el régimen permanente. Dicha diferencia o “gap” existente entre ambas trayectorias temporales, observable en la figura siguiente, vendrá dada por la siguiente secuencia: P2,t - P1,t = 2-t-1[11(-1)t – 1] - 2-t-1[11(-1)t – 3] = -2-(t+1) + 3·2-(t+1) = 2·2-(t+1) = 2·2-t-1 = 2-t = 1/2t . Entonces, la trayectoria temporal del sistema formado por ambas tuberías (1) y (2), es la siguiente: Trayectoria temporal del sistema. t (s) P1,t (bar) P2,t (bar) P2,t - P1,t (bar) P1,t (bar) P2,t (bar) 0 4 5 1 8 9 1 -7/2 -3 ½ ½ 1 2 1 5/4 ¼ 5 21/4 3 -7/8 -3/4 1/8 25/8 13/4 4 1/4 5/16 1/16 17/4 69/16 5 -7/32 -3/16 1/32 121/32 61/16 … … … … … … + 0 0 0 4 4 Ejemplo 5 Los resultados contables y en el tiempo de tres empresas del mismo holding se hallan relacionados entre sí mediante el siguiente sistema recurrente: . Se pretende por la dirección dejar en activo solamente las dos más rentables. Teniendo en cuenta que los resultados iniciales, expresados en miles de euros/día, son: y1 = 1, y2 = 2 e y3 = 3, se trata de determinar cuál de ellas se cerrará, así como los resultados anuales de cada una de ellas a los tres años de su actividad económica. Solución: Este sistema, que resolveremos por la teoría matricial, también puede escribirse así: Consecuentemente, la ecuación característica o secular es (ver Apéndice IV): , de la que se obtiene la ecuación: 3 – 92 + 24 – 20 = 0. Los autovalores de A son las raíces: 1 = 2 (doble) y 3 = 5 (simple). El subespacio de autovectores asociado a 1 = 2 = 2 es: x1 + x2 + x3 = 0, y está generado por los vectores: . )t(Y· 311 131 113 )1t(Y            . 311 131 113 A y w3zyw wz3yz