Ejercicio 3 La función de producción u de una pequeña empresa, cuyo precio de venta de su único output es de p = 70 € /ud, viene expresada en miles de unidades por la siguiente EDP no lineal: . Se pide hallar: a) la cifra de negocios de esta empresa teniendo en cuenta que los “inputs” son x = 5 e y = 8 y que al final del proceso productivo se computa un 1’5% de mermas, b) la correspondiente relación de transformación de productos (relación marginal de transformación). Solución: a) Procede, en primer lugar, resolver la integral definida del 2º miembro en la ecuación de la EDP. Entonces: , quedando la EDP homogénea, de primer orden y coeficientes variables, configurada analíticamente así: . Para resolver la EDP planteada, emplearemos el método de Darboux-Cauchy (alternativo del de Lagrange-Charpit para obtener una integral completa) que proporciona una interpretación muy clara del problema planteado y de su solución aunque exija conocer la solución completa del sistema característico, que será un conjunto de 5 funciones de la variable auxiliar t que representa una “banda característica”, es decir, una curva junto con un plano tangente en cada uno de sus puntos: {x(t), y(t), u(t), p(t), q(t)} . Se han de verificar, además, las denominadas “condiciones de banda”. El problema de Cauchy, pues, consistirá en encontrar la superficie integral que contiene una cierta curva:   {f(s), g(s), h(s)}; para ello, se resuelve el sistema característico siguiente, que es un sistema no lineal asociado a la EDP, y cuyas curvas-solución se denominan “líneas características”: .