En este caso p0 y q0 deben verificar las siguientes propiedades: (i) Condición de banda inicial: . (ii) Condición de compatibilidad: . (iii) Condición de transversalidad: . Por lo tanto, sabemos que este problema tiene exactamente dos soluciones que vienen dadas para los siguientes valores: p0(s) = -2s, . Calculemos, en un primer momento, la solución asociada al valor . De las dos últimas ecuaciones del sistema (1) obtenemos de inmediato que: , y p(t,s) = -2se-3t. Por consiguiente, sin más que tener en cuenta la ecuación (2), las restantes variables se calculan como la solución obtenida de problemas anteriores para el caso particular de: , , . Así pues, obtenemos que: z(t,s) = -s2e-6t -1+2e-2t Por lo tanto, la superficie solución está parametrizada por la expresión: . De las expresiones de x e y no es difícil comprobar que una solución particular buscada es: . Cuando , haciendo similares argumentaciones, obtenemos que: , y esta segunda solución buscada es la correcta desde el punto de vista de su interpretación microeconómica, puesto que se trata de una función de demanda, de ecuación: x2 + y2 + z – 1 = 0, con la siguiente representación gráfica como cilindro parabólico: . Para hallar su ecuación reducida, haremos: = = 0 , de donde: S1 = 1, S2 = S3 = 0. Se trata, pues, de una cuádrica de revolución, con la siguiente ecuación reducida: S1x2  2y = 0 , siendo el invariante especial de los cilindros: I’3 = A11 + A22 + A33 , y también: I1 (invariante métrico o lineal) = a11 + a12 + a13 = 1 + 0 + 0 = 1 , . Con ello resultará, que la ecuación reducida buscada es: . Por último, si entendemos que estamos analizando, v. gr., la segunda empresa, se tendrá: €/kg, y la cifra de negocios pedida, será, en definitiva: 2 = p2  q2 = u·y = 0.98  0.016 = 0.01568  15.680.000 € .