La solución buscada o función generatriz será, utilizando las transformadas de la tabla básica (ver Apéndice III):. Esto es: La representación gráfica de esta solución de los picos de presión positivos y negativos, que siguen una sucesión convergente infinitesimal, se expone a continuación:    1 0 1tt·lntdt·tln     t 0 d·Pt sin1 dt )t(dP    222s2s s 2s 1S S 1S 1 P 1S 1 S 1 SP S P 1S 1 S 1 0PSP                  ) 2 t 1(t sint ·sint 2 1 t sintP  t (s) Pt (bar) 0 0 -10 3.26 -20 -10.04 -30 15.81 -36 18.84 -38 5.93 … … 21 Evolución temporal continua de las ondas de presión. 2.5. Como función de Bessel La primera ecuación diferencial del tipo Bessel de que se tiene noticia en la historia de las matemáticas se presentó en 1732 a uno de los matemáticos de la famosa famila Bernouilli (Daniel), en el estudio de una cadena colgada por un extremo. Posteriormente, han sido múltiples las cuestiones tratadas por los físico-matemáticos (Euler, Lagrange, Fourier, Poisson, …) que han conducido a ecuaciones de este tipo o reducibles a él. Fue entre los años 1817 y 1824 cuando el astrónomo alemán Bessel realizó un estudio sistemático de tales ecuaciones, de gran importancia y aplicabilidad en la técnica, en relación con un problema de movimientos planetarios, lo que motivó el nombre con el que se bautizaron (Puig, 1962). Por otra parte, cuando P = 0 no se notarían los efectos del golpe de ariete en la instalación estudiada, estado al que se tendería de modo oscilante y decreciente hasta el final de la perturbación. El golpe de ariete máximo positivo P19 bar tiene lugar aproximadamente 36 segundos antes de la estabilización a régimen permanente, pudiéndose considerar unos 38 segundos (concretamente: 12· = 37.7 segundos) como el tiempo de duración de la perturbación transitoria analizada. 22 La solución de ciertas ecuaciones diferenciales de coeficientes variables puede venir por el desarrollo en serie de dicha solución. Para ello puede emplearse el método de los coeficientes indeterminados o el método de Frobenius, que resulta aplicable a la ecuación de Bessel, que se presenta en el estudio de fenómenos con simetría cilíndrica como el transitorio hidráulico que aquí nos ocupa. En este sentido, la función de Bessel de 1ª especie y orden cero viene dada por la expresión: , cuya representación gráfica puede verse a continuación: Función de Bessel J0(t). Cabe tener en cuenta, también, según los casos, la aplicación de otras diferentes funciones de Bessel, como las J2(t), J3(t), …, Jn(t), o sea, de 1ª especie y otros diversos órdenes o valores de n, que se ajustaran mejor a cada circunstancia, especialmente en aquellos casos de tipo o apariencia sinusoidal en que se produzca que P0 = 0. También debe tenerse en cuenta el valor de la función derivada: , y la condición necesaria o de primer grado de los extremos relativos o locales exige su anulación, o sea: ... 2 t )!3( 1 2 t )!2( 1 2 t 1)t(J 6 2 4 2 2 0                 )t(J t )t(J n dt )t(dJ 1n nn  , con lo que: . Si ahora consideramos el golpe de ariete máximo positivo de valor P0 , se tendrá una expresión de la trayectoria temporal del fenómeno que será un múltiplo de la expresión anterior, dada por: Cuando t se hace grande (t  ), la función Jn(t) tiende hacia la siguiente aproximación asintótica (ver punto 2.7. al final de la presente lección): , que para n = 0 ofrece: . A continuación se presenta una tabla de la función J0(t) para los valores de t comprendidos entre 0 y 10 segundos, variando la variable tiempo de décima en décima de segundo. Valores de J0(t). )t(J)t(J t n2 )t(J t )t(J·n 1nn1n n   n )t(J·t )t(J 1n n  ... 2304 t·P 64 t·P 4 t·P P ...] 2 t )!3( 1 2 t )!2( 1 2 t 1[P)t(J·PP 6 0 4 0 2 0 0 6 2 4 2 2 000t                                    42 n· tcos t· 2 )t(Jn           4 tcos t· 2 )t(J0 t (s) .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 0 1.0000 0.9975 0.9900 0.9776 0.9604 0.9385 0.9120 0.8812 0.8463 0.8075 1 0.7652 0.7196 0.6711 0.6201 0.5669 0.5118 0.4554 0.3980 0.3400 0.2818 2 0.2239 0.1666 0.1104 0.0555 0.0025 -0.0484 -0.0968 -0.1424 -0.1850 -0.2243 3 -0.2601 -0.2921 -0.3202 -0.3443 -0.3643 -0.3801 -0.3918 -0.3992 -0.4026 -0.4018 4 -0.3971 -0.3887 -0.3766 -0.3610 -0.3423 -0.3205 -0.2961 -0.2693 -0.2404 -0.2097 5 -0.1776 -0.1443 -0.1103 -0.0758 -0.0412 -0.0068 0.0270 0.0599 0.0917 0.1220 6 0.1506 0.1773 0.2017 0.2238 0.2433 0.2601 0.2740 0.2851 0.2931 0.2981 7 0.3001 0.2991 0.2951 0.2882 0.2786 0.2663 0.2516 0.2346 0.2154 0.1944 8 0.1717 0.1475 0.1222 0.0960 0.0692 0.0419 0.0146 -0.0125 -0.0392 -0.0653 9 -0.0903 -0.1142 -0.1367 -0.1577 -0.1768 -0.1939 -0.2090 -0.2218 -0.2323 -0.2403 10 -0.2460 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- Y también su correspondiente gráfica: Ejemplo 5 Si ahora desarrollamos un ejemplo cualquiera de este tipo de fenómenos transitorios, con una presión estática o de equilibrio, en régimen permanente, de valor Pe = 4.