AM1_LC_LMA_Guia7_2023

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Análisis Matemático I/Cálculo I
Licenciatura en Ciencias de la Computación
Licenciatura en Matemática Aplicada
FAMAF, UNC — Año 2023
Gúıa de Ejercicios No7
Integrales
Antiderivadas
1. Exprese las antiderivadas de las siguientes funciones:
a) g(x) = x3 − 5x
b) g(x) = e0,3x
c) g(x) = sen 2x
d) g(x) = 2x cos(x2)
e) g(x) = x3/2
f ) g(x) =
√
x+ 2
2. Encuentre la antiderivada F de f(x) = x+ cosx que pasa por el punto (0, 4).
3. Encuentre la antiderivada F de f(x) = 3x tal que F (1) = 5.
4. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a) f(x) =
x2
2
− 1
x2
b) f(x) = 3x3 − 8x
3
2 + 4 ln |x|
c) f(x) = (3x+ 1)
3
2
d) f(x) = (9− 2x)
4
3
e) f(x) = (x+ 9)
3
2 + x
3
2
f ) f(x) = e2x
g) f(x) = 2x
h) f(x) = ln |7− x|
i) f(x) = ln |x2 + 3x+ 4|
j ) f(x) = ln |x2 + 2x+ 5|
k) f(x) = ln |e3x − 24|
l) f(x) = ln |ex + e−x|
m) f(x) = ln | cos (x) + sen (x)|
n) f(x) = − cos (2x) + sen (3x)
ñ) f(x) = ln (cos (x))
o) f(x) =
cos(x)
sen(x)
5. Calcule las siguientes integrales indefinidas usando las correspondientes primitivas (Ayuda: Está
permitido ver los resultados del ejercicio 4):
a)
∫
e2x dx
b)
∫
2x dx
c)
∫ √
3x+ 1 dx
d)
∫
3
√
9− 2x dx
e)
∫
dx
7− x
f )
∫
2x+ 3
x2 + 3x+ 4
dx
g)
∫
x+ 1
x2 + 2x+ 5
dx
h)
∫
e3x
e3x − 24
dx
i)
∫
ex − e−x
ex + e−x
dx
j )
∫
cosx− senx
cosx+ senx
dx
k)
∫
tanx dx
l)
∫
dx
sen2 x
6. Calcule las siguientes integrales indefinidas utilizando integración por sustitución:
a)
∫
e
√
x
√
x
dx
b)
∫
sen
√
x√
x
dx
c)
∫
ln(x+ 1)
(x+ 1)
dx
d)
∫
1
x lnx
dx
e)
∫
x ex
2
dx
f )
∫
ex (1− ex)−1 dx
g)
∫
sen3 x dx
1
7. Calcule las siguientes integrales indefinidas, utilizando integración por partes:
a)
∫
x ex dx
b)
∫
(1− 2x) e−2x dx
c)
∫
x2 cosx dx
d)
∫
x ln(x− 1) dx
e)
∫
e−x sen 2x dx
f )
∫
cos2 x dx
g)
∫
cos4 x dx
Integral Definida y Cálculo de Áreas
8. Calcule las siguientes integrales definidas usando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo:
a)
∫ 1
0
e2x dx
b)
∫ 2
1
2x dx
c)
∫ 4
1
√
3x+ 1 dx
d)
∫ 5
3
3
√
9− 2x dx
e)
∫ 5
1
dx
7− x
f )
∫ 1
0
2x+ 3
x2 + 3x+ 4
dx
g)
∫ 5
0
x+ 1
x2 + 2x+ 5
dx
h)
∫ ln 6
ln 3
e3x
e3x − 24
dx
i)
∫ ln 3
ln 2
ex − e−x
ex + e−x
dx
j )
∫ π/2
π/6
dx
sen2 x
9. Sin realizar el cálculo de la integral definida justifique las siguientes igualdades y desigualdades
(puede usar gráficos):
a)
∫ π
−π
sen 2x dx = 0
b)
∫ 5
−5
x4 dx = 2
∫ 5
0
x4 dx
c)
∫ 4
0
(x− 2)3 dx = 0
d)
∫ 2
1
√
5− x dx ≥
∫ 2
1
√
x+ 1 dx
e) π/6 ≤
∫ π/2
π/6
senx dx ≤ π/3
10. Trace la región limitada por las curvas dadas y calcule el área de dicha región:
a) y = 4x2, y = x2 + 3
b) x+ y2 = 2, x+ y = 0
c) y = cosx, y = senx, x = 0, x = π/2
d) y = |x|, y = (x+ 1)2 − 7, x = −4
11. Use el cálculo integral para determinar el área de los triángulos cuyos vértices se dan a conti-
nuación:
a) (0,0); (1,8); (4,3). b) (-2,5); (0,-3); (5,2).
12. Calcule el área de la región limitada por la parábola y = x2, la tangente a ella en el punto (1,1)
y el eje x.
13. Calcule el número b tal que la recta y = b divida la región limitada por las curvas y = x2 y y = 4
en dos regiones de igual área.
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