Esta propiedad, de gran utilidad en el cálculo y resolución de las ecuaciones integrales e integro-diferenciales (que ha sido empleada para la resolución del ejemplo anterior), establece que: Si f(t)  F(S), entonces Si definimos la función: , entonces, por el teorema fundamental del Cálculo Integral, se tendrá que: Por lo tanto: F(S) = Lf(t) = Lg’(t) = SG(S) – g(0). t1 e 1S 1 L)t(f             t 0 S )S(F du)·u(f  t 0 du)·u(f)t(g 0du)·u(fg(0) y )t(fdu)·u(f dt d )t('g 0 0 t 0   16 De donde también: F(S) = SG(S), y de aquí: G(S) = Lg(t) = . Así pues, resulta que la transformada de la integral indefinida de una función (supuesta existente) es el cociente de la transformada de la función por su variable S. A continuación, pueden verse los siguientes ejemplos de aplicación a sendos sistemas de EDO lineales y un último referente a circuitos eléctricos: Ejemplo 1 Sea resolver el siguiente sistema de EDO: , con las condiciones iniciales siguientes: . Solución:   S )S(F du)·u(f L t 0          yx5 dT dy y2x dT dx         20y 10x       yx5y y2xx           sss sss yx50ySy y2x0xSx       sss sss yx52Sy y2x1Sx 2x5ySy 1y2xSx sss sss                 1S21Syx5 51y21Sx ss ss                   T3 sin 3 7 T3 cos2Ty 9S 7 9S S2 y 7S29Sy 7S21S10y 2S251S1Syy10 1S21S1Sy1Sx5 5y101Sx5 22s 2 s 2 s ss ss ss           17 Del mismo modo, se tendrá que: y la solución buscada será la siguiente: , y entonces también se cumple que: x(T) + y(T) = cos 3T – 4·sin 3T. En cualquier caso, la solución general del sistema planteado viene dada por: x(T) = y(T) = que con las condiciones de contorno dadas exige: x(0) = c1 = -1; y(0) = c2 = 2; consecuentemente, se tendrá que: x(T) = , y también: y(T) = , c.s.q.d.             221Syx5 1S1y21Sx ss ss                  T3 sin 3 7 T3cos2Ty    T3 sin 3 5 T3 cosTx  T3 sin 3 c2 )T3cos3T3 (sin 3 c 21  )T3 sinT3 cos3( 3 c T3 sin 3 c5 21  T3 sin 3 5 T3cosT3 sin 3 4 T3cos 3 T3 sin  T3 sin 3 7 T3cos2T3 sin 3 2 T3cos2 3 T3 sin5  Ejemplo 2 Resuelva el siguiente sistema de EDO para las funciones desconocidas u(x) y v(x): u’ + u – v = 0 v’ – u + v = 2, con las condiciones iniciales: u(0) = 1, v(0) = 2. Solución: Indicaremos L{u(x)} y L{v(x)} por U(s) y V(s), respectivamente. Tomando las transformadas de Laplace en ambas ecuaciones diferenciales, obtenemos: [sU(s) – 1] + U(s) – V(s) = 0 ; [sV(s) – 2] – U(s) + V(s) = 2/s (s + 1)U(s) – V(s) = 1, o bien: -U(s) + (s + 1)V(s) = La solución de este último conjunto de ecuaciones lineales simultáneas es: Tomando ahora las transformadas inversas, obtenemos: La representación gráfica de las dos funciones anteriores en el entorno del origen de coordenadas es la siguiente: s )1s(2  22 s 12s y V(s), s 1s )s(U       x1 s 1 s 1 L s 1s L)s(UL)x(u 2 1 2 11                    x2 s 1 s 2 L s 1s2 L)s(VL)x(v 2 1 2 11                  Ejemplo 3 Aplicar la transformada de Laplace para hallar la carga q(T) en el capacitor (condensador) de un circuito ¨RC¨ en serie cuando: q(0) = 0, la resistencia R = 50 , la capacidad c = 0’01 faradios y la función: E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3). Solución: Como siempre, se tendrá que la ecuación diferencial de la carga en este circuito es: