las ecuaciones integro-diferenciales (EID) se denominan así porque constan de operaciones diferenciales e integrales de la función incógnita en su expresión. Existen algunos métodos para su resolución, y entre los más empleados están: el de las transformadas de Laplace, los métodos numéricos (para computadora, las odes en matlab), los métodos lineales multipaso para ecuaciones de orden fraccionario en espacios de Banach, el método de Hartree-Fock-Roothaan (HFR) y los métodos analíticos de resolución manual. Se denomina ecuación integro-diferencial lineal a la ecuación del tipo siguiente: . (1) Aquí a0(x), …, an(x), f(x), Km(x, t) (m = 0, 1, …, s) son funciones conocidas, e y(x) es la función incógnita. Al resolver las ecuaciones integro-diferenciales, a diferencia de lo que sucedía en el caso de las ecuaciones integrales, para la función incógnita y(x) se plantean condiciones iniciales (PVI) del tipo: (2) Supongamos que en (1) los coeficientes ak(x) = cte. ( k = 0, 1, …, n), y que el núcleo integral es: Km(x, t) = Km(x - t) ( m = 0, 1, …, s), es decir, que todas las Km dependen únicamente de la diferencia (x – t) de los argumentos. Sin detrimento de la generalidad, pues, se puede considerar que a0 = 1. Entonces la ecuación anterior (1) toma la forma siguiente: . (3) Supongamos, además, que las funciones f(x) y Km(x) son funciones-objeto y que:                          s 0m x 0 m mn 1n 1 n 0 xfdt·ty·t,xKxy·xa...xy·xaxy·xa          1n 0 1-n' 00 y0 y..., ,y0 y                         s 0m x 0 n1 m mn 1n 1 n .ctea ..., ,a xfdt·ty·txK xya...xyaxy . (4) f(x) = L-1[F(p)], , ( m = 0, 1, …, s). Entonces la función y(x) tendrá también su imagen según Laplace, así: y(x) = L-1[(p)]. Apliquemos ahora a ambos miembros de la expresión (3) la transformación de Laplace. En virtud del teorema sobre la imagen de la derivada, se cumplirá que: ( k = 0, 1, …, n). Según el teorema del producto, se tiene que: ( m = 0, 1, …, s). Por esto, la ecuación (3) se transforma en la siguiente: , (6) donde A(p) es una función conocida de p. De la igualdad anterior (6) se halla (p) que es la solución operacional del problema (3)-(2). Por último, hallando la función-objeto para (p), se obtiene la solución o función generatriz Laplace y(x) de la ecuación integro-diferencial (3), que satisface a las condiciones iniciales del problema planteado (2). A continuación se resolverán diversos ejercicios también aquí, en todos los casos, como hemos realizado con las ecuaciones integrales, por aplicación del método de las transformadas de Laplace (ver Apéndice III), y será necesario disponer del dato o datos de la condición inicial, según el orden de la derivada que en ella figure.    ]pK ~ [LxK m 1 m            ]y...ypyppp[Lxy 1k 0 ' 0 2 0 1kk1k              ]y...yppp pK ~ [Ldt·ty·txK x 0 1m 00 1mm m 1m m        pAppK ~ a...papp s 0m m n 1n 1 n           2. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Ejemplo 1 En un mercado en régimen supuesto de competencia perfecta para un bien normal, se tienen, una vez realizado el pertinente análisis econométrico, las siguientes funciones de demanda y oferta: D  5y = 20 – 4x O  ,  y(0) = 2 , siendo y el precio (p) expresado en euros/ud. y x la cantidad (q) del bien expresada en miles de unidades diarias. Se trata: a) de estudiar el equilibrio del mercado, b) de calcular la elasticidad de ambas funciones económicas en el punto de equilibrio, y c) de estimar los ingresos brutos anuales del vendedor (considerando un calendario laboral de 240 días/año). Solución: a) Evidentemente, la función de demanda es una recta decreciente en el primer cuadrante del círculo desde el punto (0,4) al (5,0), mientras que la función de oferta viene dada por una ecuación integro-diferencial de Volterra, que resolveremos tomando transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuación, con lo que: L[y’] + 2L[y] – 3L = L[5] + 5L[x]. Obsérvese que ahora x es variable independiente, razón por la cual: L[x] = , y la ecuación anterior, haciendo: L[y] = Y(s), se convierte en: s·Y(s) – 2 + 2·Y(s) - , o también puede expresarse del siguiente modo:   x 0 x55dx·y3y2 'y        x 0 dx·y 2s 1 2s 5 s 5 s )s(Y 3  Y(s)(s + 2 - 3/s) = ; Y(s) = . Las raíces del polinomio del denominador son todas ellas reales y simples, de valores: 0, 1 y – 3, puesto que de: s2 + 2s – 3 = 0, se tiene que: . Ello nos permite la aplicación del método de las fracciones parciales y coeficientes indeterminados del siguiente modo: , esto es: A(s-1)(s+3) + B·s(s+3) + C·s(s-1) = 2s2 + 5s + 5; A(s2 + 2s – 3) + B(s2 + 3s) + C(s2 – s) = 2s2 + 5s + 5; (A + B + C)s2 + (2A + 3B – C)s – 3A = 2s2 + 5s + 5; y resulta el sistema compatible y determinado siguiente: A + B + C = 2 2A + 3B – C = 5 -3A = 5 , del que se obtienen los siguientes valores: A = -5/3, B = 3 y C = 2/3, con lo que la función generatriz Laplace será: que constituye la I.P. buscada. Ello puede comprobarse también teniendo en cuenta que: , luego substituyendo en la EID dada deberá cumplirse que: 2 2 2 s 5s5s2 2 s 5 s 5   )3s2s(s 5s5s2 2 2   )3,1( 2 1242 s    )3s)(1s(s 5s5s2 3s C 1s B s