1.4 1.4 1 Gráfi ca Características 1. La función no interseca al eje X. 2. La función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes. 3. La función es negativa en el segundo y tercer cuadrantes. 4. La función tiene periodo igual a 2p rad. 5. x es un número real tal que x ≠ 2 2n 1 p+( ) con n ∈ Z (asíntotas verticales). 6. y ≥ 1 o y ≤ – 1. X Y 0 1 – 1 2 p 2 3pp 2p X Y 0 2 p 2 3pp 2p 1 – 1 13 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfi ca de las funciones trigonométricas 815 Gráfi ca de y = csc x Tabulación 1o. cuadrante 2o. cuadrante 3o. cuadrante 4o. cuadrante X 0 π 4 π 2 3π 4 5π 4 3π 2 No existeNo existe 7π π 4 2 Y 1 1.4 – 1.4 – 1 –1.4 1.4 1 Gráfi ca Características de la función cosecante 1. La función no interseca al eje X. 2. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes. 3. La función es negativa en el tercero y cuarto cuadrantes. 4. La función tiene periodo igual a 2π rad. 5. El valor de x es un número real tal que x ≠ np con n ∈ Z (asíntotas verticales). 6. y ≥ 1 o y ≤ – 1. Resumen La siguiente tabla muestra el periodo, la amplitud, las asíntotas verticales, el dominio y el rango de cada una de las funciones trigonométricas. π π π π π π π Periodo Amplitud Asíntotas verticales Valores de x Valores de y y = sen x 2 1 No tiene { x ∈ R } { y ∈ R / –1 ≤ y ≤ 1} y = cos x 2 1 No tiene { x x x x xx x n n n x x n ∈ R } { y ∈ R / –1 ≤ y ≤ 1} y = tan x π 2 2 + 1( ), nn ∈ Z ∈ R / ≠ π 2 2 +1( ){ } { y ∈ R } y = ctg x n , n ∈ Z ∈ R / ≠ π{ } { y ∈ R } y = sec x 2 π 2 2 + 1( ), nn ∈ Z ∈ R / ≠ π 2 2 +1( ){ } { y ∈ R / y ≤ – 1 o y ≥ 1} y = csc x 2 n , n ∈ Z ∈ R / ≠ π{ } { y ∈ R / y ≤ – 1 o y ≥ 1} X Y 0 2 p 2 3pp 1 – 1 13 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfi ca de las funciones trigonométricas 816 Amplitud, periodo y desplazamiento de fase Si y = a sen bx, o bien y = a cos bx, para a, b ∈ R, distintos de cero, entonces la gráfi ca tiene amplitud �a�, y periodo 2π b Calcula la amplitud, el periodo y traza la gráfi ca de y = 4 sen 2x. Solución De y = 4 sen 2x se obtiene a = 4 y b = 2, los cuales al sustituir en las fórmulas se determinan la amplitud y el periodo: Amplitud: �a�=�4�= 4 Periodo: 2 2 2 π π π b = = Luego, la gráfi ca tiene amplitud 4 y periodo π. Tabulación X 0 π 4 π 2 3 4 π π π5π 4 3π 2 7 4 π 2 Y 0 4 0 – 4 0 4 0 – 4 0 Gráfi ca X – 4 2 p – 2 p p– p 0 Periodo Amplitud 4 p – 4 p – 4 3p 4 3p 4 Y 1 Ej em pl os EJEMPLOS 13 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfi ca de las funciones trigonométricas 817 Calcula la amplitud, el periodo y traza la gráfi ca de y = 2 sen 1 2 x. Solución De y = 2 sen 1 2 x se obtiene a = 2 y b = 1 2 , los cuales al sustituirlos en las fórmulas se determinan la amplitud y el periodo: Amplitud: �a�=�2�= 2 Periodo: 2 2 1 2 4 π π π b = = Entonces, la gráfi ca tiene amplitud 2 y periodo 4p. X Y 0 0 2 1.41 2 3 2 1.41 2 0 5 2 –1.41 3 –2 2 7 –1.41 4 0 p p p p p p p p 13 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS 818 Amplitud, periodo y desplazamiento de fase Si y = a sen bx, o bien y = a cos bx, para a, b ∈ R, distintos de cero, entonces la gráfi ca tiene amplitud �a�, y periodo 2π b Calcula la amplitud, periodo y desplazamiento de fase y traza la gráfi ca de: y = 3 sen (2x + p 2 ) Solución y = 3 sen (2x + p 2 ), tiene la forma de y = a sen (bx + c) donde a = 3, b = 2 y c = p 2 , por consiguiente: Amplitud =�a�=�3�= 3 Periodo = 2 2 2 p p p b = = Para determinar el desplazamiento de fase y el intervalo, se resuelven las siguientes ecuaciones: 2x + p 2 = 0 y 2x + p 2 = 2p Donde x = − π 4 y x = 3 4 π , respectivamente. Y X 0 2 4 3 4 5 – 4 – 2 – 4 3 – 4 5 3 – 3 y = 3 sen ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ + 2 x2 p pppppppppp 4 X − 5 4 π – π − 3 4 π − π 2 − π 4 0 π 4 π 2 3 4 π 5 4 π π 3 2 π 7 4 π Y 0 3 0 – 3 0 3 0 – 3 0 3 0 – 3 0 Ú Caso 2. Si y = a tan (bx + c) con a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces: a) El periodo es π b Se pueden determinar las asíntotas verticales sucesivas en la gráfi ca resolviendo las ecuaciones: b x + c = − π 2 y b x + c = π 2 b) El desplazamiento de fase es − c b 13 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfi ca de las funciones trigonométricas 819 Ejemplo Calcula el periodo y traza la gráfi ca de y = 1 2 tan (x + p 4 ) Solución a = 1 2 , b = 1 y c = p 4 , entonces, a) El periodo es π π π b = = 1 b) Para determinar las asíntotas verticales sucesivas se resuelven las ecuaciones: x + π π 4 2 = − y x + π π 4 2 = Donde x = − 3 4 π y x = π 4 , respectivamente, esto signifi ca que cada π rad se traza una asíntota. c) En la función a = 1 2 , la gráfi ca de la ecuación en el intervalo −⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 3 4 4 π π , tiene la forma de y = 1 2 tan x, debi- do a que c = p 4 y b = 1, el desplazamiento de fase se defi ne como − = −c b π 4 , por consiguiente, la gráfi ca se obtiene desplazando y =