Grafi ca Conjunto de puntos del plano que satisfacen las condiciones establecidas por una ecuación. Grafi ca la curva, cuya ecuación es xy – 2x – 2y + 2 = 0. Solución Intersección con los ejes coordenados a) Se sustituye y = 0 y se despeja x: xy – 2x – 2y + 2 = 0 x(0) – 2x – 2(0) + 2 = 0 – 2x + 2 = 0 – 2x = – 2 x = 1 El punto de intersección con el eje X es (1, 0). b) Se sustituye x = 0 y se despeja y: xy – 2x – 2y + 2 = 0 S (0)y – 2(0) – 2y + 2 = 0 – 2y + 2 = 0 – 2y = – 2 y = 1 El punto de intersección con el eje Y es (0, 1). Simetría a) Simetría respecto al eje X. Se sustituye y por – y en la ecuación: xy – 2x – 2y + 2 = 0 S x(– y) – 2x – 2(– y) + 2 = 0 – xy – 2x + 2y + 2 = 0 La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría respecto al eje X. b) Simetría respecto al eje Y. Se sustituye x por – x en la ecuación: xy – 2x – 2y + 2 = 0 S (– x)(y) –2(– x) –2y + 2 = 0 – xy + 2x – 2y + 2 = 0 La ecuación se altera, por consiguiente, no hay simetría respecto al eje Y. c) Simetría respecto al origen. Se sustituye x por – x, y por – y. xy – 2x – 2y + 2 = 0 S (– x)(– y) –2(– x) –2( – y) + 2 = 0 xy + 2x + 2y + 2 = 0 La ecuación se altera, por consiguiente, no hay simetría respecto al origen. Extensión de la curva a) Extensión respecto al eje X. Se despeja la variable y: xy –2x –2y + 2 = 0 S xy – 2y = 2x – 2 y(x – 2) = 2x – 2 y = 2x – 2/(x - 2) Para x = 2, la variable y no está defi nida, por consiguiente, la extensión en X es: x R x∈ ≠{ }| 2 también se puede escribir x R x x R x∈ −∞ < <{ }∪ ∈ < < ∞{ }| |2 2 b) Extensión respecto al eje Y. Se despeja la variable x: xy – 2x – 2y + 2 = 0 S xy – 2x = 2y – 2 x(y – 2) = 2y – 2 x = 2y – 2/(y - 2) Para y = 2, la variable x no está defi nida, en consecuencia, la extensión en y es: y R y∈ ≠{ }| 2 o y R y y R y∈ −∞ < <{ }∪ ∈ < < ∞{ }| |2 2 Asíntotas a) Asíntotas horizontales. Se obtienen al despejar la variable x y resolver la ecuación que resulta al igualar con cero el denominador: xy – 2x – 2y + 2 = 0 S xy – 2x = 2y – 2 x(y – 2) = 2y – 2 x = 2y – 2/(y - 2) y – 2 = 0, por tanto, la asíntota horizontal es y = 2. b) Asíntotas verticales. Se obtienen al despejar la variable y y resolver la ecuación que resulta al igualar con cero el denominador, entonces: xy – 2x – 2y + 2 = 0 S xy – 2y = 2x – 2 y(x – 2) = 2x – 2 y = 2x – 2/(x - 2) x – 2 = 0, por consiguiente, la asíntota vertical es x = 2. Gráfi ca Se tabula la variable y en función de la variable x, donde x toma valores en el intervalo x R x x R x∈ −∞ < <{ }∪ ∈ < < ∞{ }| |2 2 y x x = −− 2 2 2 Tabulación: x –3 –2 –1 0 1 3 4 5 6 7 y 1.6 1.5 1.3 1 0 4 3 2.6 2.5 2.4 Se grafi can las asíntotas y = 2 y x = 2, posteriormente los puntos: – 6 Y X2 4 6– 4 – 2 2 4 6 – 2 – 4 – 6 x = 2 y = 2 Construye la curva, cuya ecuación es 4x2+ 9y2 – 36 = 0. Solución Intersección con los ejes coordenados a) Se sustituye y = 0 y se despeja x: 4x2 + 9y2 – 36 = 0 S 4x2 + 9(0)2 – 36 = 0 4x2 = 36 x2 = 9 x = ± 9 x = ±3 x = – 3, x = 3 Los puntos de intersección con el eje X son: (– 3, 0) y (3, 0). b) Se sustituye x = 0 y se despeja y: 4x2 + 9y2 – 36 = 0 S 4(0)2 + 9y2 – 36 = 0 9y2 = 36 y2 = 4 y = ± 4 y = ±2 y = – 2, y = 2 Los puntos de intersección con el eje Y son: (0, – 2) y (0, 2). Simetría a) Simetría respecto al eje X. Se sustituye y por – y en la ecuación: 4x2 + 9(– y)2 – 36 = 0 S 4x2 + 9y2 – 36 = 0 La ecuación no se altera, por tanto, sí es simétrica respecto al eje X. b) Simetría respecto al eje Y. Se sustituye x por – x en la ecuación: 4 (– x)2 + 9y2 – 36 = 0 S 4x2 + 9y2 – 36 = 0 La ecuación no se altera, por consiguiente, es simétrica respecto al eje Y. c) Simetría respecto al origen. Se sustituye x por – x, y por – y. 4 (– x)2 + 9(– y)2 – 36 = 0 S 4x2 + 9y2 – 36 = 0 La ecuación no se altera, por tanto, es simétrica respecto al origen. Extensión de la curva a) Extensión respecto al eje X. Se despeja la variable y: 4x2 + 9y2 – 36 = 0 S 9y2 = 36 – 4x2 S y2 = 36 4 9 2− x → y = ± −( )4 9 9 2x y = ± −2 3 9 2x y está defi nida cuando 9 – x2 ≥ 0, resolviendo la desigualdad, se obtiene: x R x∈ − ≤ ≤{ }| 3 3 o x ∈ −[ ]3 3, Es decir, la curva se extiende en el eje x desde – 3 a 3. b) Extensión respecto al eje Y. Se despeja la variable x: 4x2 + 9y2 – 36 = 0 S 4x2 = 36 – 9y2 S x2 = 36 9 4 2− y S x = ± −( )9 4 4 2y x = ± −3 2 4 2y x está defi nida cuando 4 – y2 ≥ 0, resolviendo la desigualdad, se obtiene: y R y∈ − ≤ ≤{ }| 2 2 o y ∈ −[ ]2 2, Es decir, la curva se extiende en el eje y desde – 2 a 2. Asíntotas a) Asíntotas horizontales. Al despejar y se obtiene y = ± −2 3 9 2x , la variable x no queda en el denominador por tanto no hay asíntotas horizontales.