Ejercicios con Ecuacion canonica de la recta, hiperbola, elipse, circunferencia y parabola donde se Grafique

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Ejercicios con Ecuacion canonica de la recta, hiperbola, elipse, circunferencia y
parabola donde se Grafique.
Ecuación canónica de la recta:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (-1,
5).
Solución:
Primero, calculamos la pendiente (m) utilizando la fórmula: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m = (5 - 3) / (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3
Luego, utilizamos la fórmula de la ecuación de la recta: y - y1 = m(x - x1)
y - 3 = (-2/3)(x - 2)
Simplificamos la ecuación:
3y - 9 = -2x + 4
2x + 3y = 13
La ecuación canónica de la recta es 2x + 3y = 13.
Ecuación canónica de la hiperbola:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la hiperbola con centro en el origen, vértices
en (0, ±4) y asíntotas y = ±(2/3)x.
Solución:
La ecuación canónica de una hiperbola con centro en el origen es: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
Dado que los vértices están en (0, ±4), podemos ver que a = 4.
La pendiente de las asíntotas es b/a = 2/3, por lo que b = (2/3)a = (2/3)(4) = 8/3.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x^2/16 - y^2/(64/9) = 1
Simplificando la ecuación, tenemos: 9x^2 - 16y^2 = 144
La ecuación canónica de la hiperbola es 9x^2 - 16y^2 = 144.
Ecuación canónica de la elipse:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la elipse con centro en (2, -3), semieje
mayor de longitud 5 y semieje menor de longitud 3.
Solución:
La ecuación canónica de una elipse con centro en (h, k) es: (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2
= 1
Dado que el centro es (2, -3), podemos ver que h = 2 y k = -3.
Los semiejes mayor y menor son a = 5 y b = 3, respectivamente.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: (x - 2)^2/25 + (y + 3)^2/9
= 1
La ecuación canónica de la elipse es (x - 2)^2/25 + (y + 3)^2/9 = 1.
Ecuación canónica de la circunferencia:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la circunferencia con centro en (-1, 2) y
radio de longitud 4.
Solución:
La ecuación canónica de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es: (x - h)^2 +
(y - k)^2 = r^2
Dado que el centro es (-1, 2) y el radio es 4, sustituimos los valores en la ecuación
canónica: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16
La ecuación canónica de la circunferencia es (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16.
Ecuación canónica de la parábola:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la parábola con vértice en (3, -1) y foco en
(3, 2).
Solución:
La ecuación canónica de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k + p) es: (x -
h)^2 = 4p(y - k)
Dado que el vértice es (3, -1) y el foco es (3, 2), podemos ver que h = 3 y k = -1.
La distancia entre el vértice y el foco es p = 3 - (-1) = 4.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: (x - 3)^2 = 4(4)(y + 1)
Simplificando la ecuación, tenemos: (x - 3)^2 = 16(y + 1)
La ecuación canónica de la parábola es (x - 3)^2 = 16(y + 1).
Ecuación canónica de la recta:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (-1,
5).
Solución:
Primero, calculamos la pendiente (m) utilizando la fórmula: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m = (5 - 3) / (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3
Luego, utilizamos la fórmula de la ecuación de la recta: y - y1 = m(x - x1)
y - 3 = (-2/3)(x - 2)
Simplificamos la ecuación:
3y - 9 = -2x + 4
2x + 3y = 13
La ecuación canónica de la recta es 2x + 3y = 13.
Ecuación canónica de la hiperbola:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la hiperbola con centro en el origen, vértices
en (0, ±4) y asíntotas y = ±(2/3)x.
Solución:
La ecuación canónica de una hiperbola con centro en el origen es: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
Dado que los vértices están en (0, ±4), podemos ver que a = 4.
La pendiente de las asíntotas es b/a = 2/3, por lo que b = (2/3)a = (2/3)(4) = 8/3.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x^2/16 - y^2/(64/9) = 1
Simplificando la ecuación, tenemos: 9x^2 - 16y^2 = 144
La ecuación canónica de la hiperbola es 9x^2 - 16y^2 = 144.
Ecuación canónica de la elipse:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la elipse con centro en (2, -3), semieje
mayor de longitud 5 y semieje menor de longitud 3.
Solución:
La ecuación canónica de una elipse con centro en (h, k) es: (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2
= 1
Dado que el centro es (2, -3), podemos ver que h = 2 y k = -3.
Los semiejes mayor y menor son a = 5 y b = 3, respectivamente.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: (x - 2)^2/25 + (y + 3)^2/9
= 1
La ecuación canónica de la elipse es (x - 2)^2/25 + (y + 3)^2/9 = 1.
Ecuación canónica de la circunferencia:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la circunferencia con centro en (-1, 2) y
radio de longitud 4.
Solución:
La ecuación canónica de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es: (x - h)^2 +
(y - k)^2 = r^2
Dado que el centro es (-1, 2) y el radio es 4, sustituimos los valores en la ecuación
canónica: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16
La ecuación canónica de la circunferencia es (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16.
Ecuación canónica de la parábola:
Ejercicio: Encuentra la ecuación canónica de la parábola con vértice en (3, -1) y foco en
(3, 2).
Solución:
La ecuación canónica de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k + p) es: (x -
h)^2 = 4p(y - k)
Dado que el vértice es (3, -1) y el foco es (3, 2), podemos ver que h = 3 y k = -1.
La distancia entre el vértice y el foco es p = 3 - (-1) = 4.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: (x - 3)^2 = 4(4)(y + 1)
Simplificando la ecuación, tenemos: (x - 3)^2 = 16(y + 1)
La ecuación canónica de la parábola es (x - 3)^2 = 16(y + 1).