que se completa un trinomio cuadrado perfecto
En aquellas integrales con un denominador de la forma ax2 bx c, se utiliza el método de completar un trinomio cuadrado perfecto para llegar a las formas:

v a a v v a a v2 2 2 2 2 2 2 2, , ,

Según sea el caso.

CAPÍTULO 2
CÁLCULO INTEGRAL Integrales inmediatas
1337
Encuentra el resultado de
dx
x x2 4 3

Solución
Se completa el TCP, entonces, el denominador se expresa como:

x x x x x2 2 24 3 4 4 4 3 2 1( ) ( )

Donde,

v2 (x 2)2, v x 2, dv dx ; a2 1, a 1

Por consiguiente,
dx
x x
dx
x
xx
C
2 24 3 2 1

1
2 1
2 1
2 1( ) ( )
ln
11
2
1
3
ln
xx
C
Determina el resultado de
38 252
dx
x x

Solución
La expresión
x x x x x2 2 28 25 8 16 16 25 4 9( ) ( )

Donde,
v2 (x 4)2, v x 4, dv dx; a2 9, a 3

Finalmente,

38 25
34 9
31
34
32 2
dx
x x
dx
x
xx
C
( )
arc tan aarc tan
x
C
43
Encuentra el resultado de la integral indefinida
dx
x x2 2 12

Solución
Se completa el TCP y el trinomio se convierte a la expresión equivalente.
2 2 1 21
22
1
41
41
21
2
2x x x x x x 21
41
21
2x x
21
41
21
2x
Se utiliza la fórmula,
dv
v a a
v
a
C
2 21
arc tan
se obtiene la variable, su diferencial y el valor de a, entonces,
v x2
21
21
2
, v x
21
21
, dv dx; a2 1
4
, a
21
Por tanto,
dx
x x
dx
x
2 3 4
441
643
8
22 2
xx
x
41643
8
2
x
1
2
38
41
8
arc sen
x
C
12
8 3
841
8
arc sen
x
C
12
8 3
41
arc sen
x
C
Encuentra el resultado de
2 52
dx
x x

Solución
En este caso, la expresión se representa como:
2 52
2 2
2 52
3
2 52 2 2
x
x x
x
x x x x
Se ha elegido esta separación debido a que,
si v x x2 2 5 entonces dv x dx( )2 2
4
5

CAPÍTULO 2
CÁLCULO INTEGRAL Integrales inmediatas
1339
Por consiguiente,
2 52
2 2
2 52
3
2 52 2 2
x dx
x x
x dx
x x
dx
x x
Para la integral
2 2
2 52
x dx
x x
, se realiza el cambio,
v x x2 2 5 , dv x dx( )2 2 y
dv
x
dx
2 2
Resultando:
2 2
2 52
x dx
x x
ln( )x x2 2 5 C
Ahora, con la integral
dx
x x2 2 5
, se realiza el siguiente cambio:
dx
x x
dx
x x
dx
x2 2 22 5 2 1 4 1 4( ) ( )

12
12
12
arc tan
x
C
Finalmente, al sustituir se obtiene:

2 52
2 52
2 2
2 52
3
22 2 2
x dx
x x
x dx
x x
dx
x x 55
ln( ) tanx x
x
C2 2 5 3
12
12
arc
ln( ) tanx x
x
C2 2 5
32
12
arc
Por tanto,
( )ln( ) tan
2 52
2 52
2 52
3
22
12x dx
x x
x x
arc C
Obtén el resultado de
e e dx
e e ex x
5 3
3 24
6 5

Solución
La integral se expresa de la siguiente manera:
e e dx
e e ex x
5 3
3 24
6 5

e e e dx
e e ex x x
( )2
24
6 5

( )e e dx
e e x x
2
24
6 5

( )e e e dx
e e x x x
2
23
6 5

( )e e dx
e e x x
2
23
6 5

e dx
e e x x2 6 5
6

CAPÍTULO 2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1340
Ahora, para la integral
( )e e dx
e e x x
2
23
6 5
, se realiza el siguiente cambio:
v e2x 6e x 5, dv (2e2x 6e x)dx 2(e2x 3e x)dx
Entonces,
( )e e dx
e e x x
2
23
6 5

12
dv
v

12 12
12v
v
12 e ex x2 6 5
Por consiguiente, para la integral
e dx
e e x x2 6 5
, se completa el trinomio cuadrado perfecto y se realiza el cambio
de variable.
e dx
e e x x2 6 5

e dx
e e x x2 6 9 9 5

e dx
e e x x2 6 9 4

e dx
e e x x2 6 9 4

e dx
e e x x2 6 9 4

e dx
e e x x2 6 9 4

e dx
e e x x2 6 9 4

e dx
e e x x2 6 9 4

e dx
e e x x2 6 9 4

e dx
e e x x2 6 9 4

12
12
12
arc tan
x
C
Finalmente, al sustituir se obtiene:

2 52
2 52
2 52
3
22
12x dx
x x
x x
arc C
Obtén el resultado de
e e dx
e e e x x x
5 3
3 24
6 5
e ex x2 6 5 ln e e ex x x3 6 52 C
Determina las siguientes integrales:
1.
dx
x x2 6
6.
dx
x x2 9 42
2.
dx
x x2 8
7.
dx
a x ax2 2 8 15
3.
dx
x x2 5 6
8.
39202
e dx
e e x x
4.
dx
x x2 3 12
9.
dw
w w13 2 152
5.
dx
x x2 5 14
10.
d
5922
EJERCICIO 7
11.
dx
x x2 2 8
28. e e e