mino a término, es decir, si x = (xk) y y = (yk) son sucesiones de números reales y � 2 R; se de�nen x+ y := (xk + yk) y �x := (�xk): Con estas operaciones el conjunto de todas las sucesiones de números reales es un espacio vectorial. Para espacios de sucesiones adecuados podemos de�nir normas análogas a las de�nidas para Rn. Proposición 2.15 (a) Dada p 2 [1;1); consideremos el conjunto `p de todas las suce- siones (xk) de números reales tales que la serie 1P k=1 jxkjp converge. Entonces `p es un espacio vectorial y la función k(xk)kp := � 1P k=1 jxkjp � 1 p es una norma en `p: (b) El conjunto `1 de todas las sucesiones acotadas de números reales (xk) es un espacio vectorial y la función k(xk)k1 := sup k�1 jxkj es una norma en `1. Demostración: Es sencillo ver que �x 2 `p para toda x 2 `p; � 2 R y que k�kp cumple las propiedades (N1) y (N2) [Ejercicio 2.39]. Probaremos a continuación que x+ y 2 `p si x; y 2 `p y que k�kp cumple la propiedad (N3). Sean p 2 [1;1) y (xk); (yk) 2 `p: Como la norma k�kp en Rn satisface la propiedad (N3), se tiene que� nP k=1 jxk + ykjp � 1 p � nP k=1 jxkjp � 1 p + � nP k=1 jykjp � 1 p � k(xk)kp + k(yk)kp para todo n 2 N: En consecuencia, la serie 1P k=1 jxk + ykjp converge y se cumple que k(xk + yk)kp = � 1P k=1 jxk + ykjp � 1 p � k(xk)kp + k(yk)kp : El caso p =1 se probó en el Ejemplo 2.7. Si p 2 [1;1) la propiedad (N3) en `p se llama la desigualdad de Minkowski para series. Nota que las métricas d1 y d1 consideradas en los Ejemplos 2.8 y 2.7 son las inducidas por las normas k�k1 y k�k1 que acabamos de de�nir. No cualquier métrica en un espacio vectorial está inducida por una norma. De hecho, a cualquier conjunto le podemos dar la métrica siguiente. Ejemplo 2.16 Sea X un conjunto arbitrario. La función ddisc(x; y) = � 0 si x = y; 1 si x 6= y; es una métrica en X; llamada la métrica discreta. El espacio Xdisc := (X; ddisc) se llama un espacio discreto. Es sencillo comprobar que en un espacio vectorial no trivial ninguna norma induce la métrica discreta [Ejercicio 2.38]. 2.3. Espacios de funciones Denotemos por C0[a; b] al conjunto de todas las funciones continuas f : [a; b] ! R: La suma de funciones y el producto de una función por un escalar, de�nidos como (f + g)(x) := f(x) + g(x); (�f)(x) := �f(x); para f; g 2 C0[a; b]; � 2 R; le dan a C0[a; b] la estructura de espacio vectorial. Dada una función continua f : [a; b]! R de�nimos kfkp : = �Z b a jf(x)jp dx � 1 p si p 2 [1;1); kfk1 : = m�axfjf(x)j : a � x � bg: (2.4) Proposición 2.17 Para cada p 2 [1;1] la función k�kp : C0[a; b]! R es una norma. Demostración: Si p = 1 la demostración es sencilla. Consideremos el caso p 2 [1;1): Como jf(x)jp es una función continua y no negativa, se tiene que kfkpp = Z b a jf(x)jp dx = 0() jf(x)jp = 0 8x 2 [a; b]: En consecuencia, kfkp = 0 si y sólo si f = 0: Esto demuestra (N1). La propiedad (N2) es consecuencia inmediata de la linealidad de la integral. La propiedad (N3) se conoce como la desigualdad de Minkowski para integrales y la demostraremos a continuación (Proposición 2.19). Empezaremos probando la desigualdad de Hölder para integrales. Su demostración es análoga a la correspondiente para Rn. Proposición 2.18 (Desigualdad de Hölder para integrales) Sean p; q 2 (1;1) tales que 1 p + 1 q = 1: Entonces, para cualquier par de funciones continuas f; g : [a; b]! R se cumple que Z b a jf(x)g(x)j dx � Z b a jf(x)jp dx � 1 p Z b a jg(x)jq dx � 1 q ; es decir, kfgk1 � kfkp kgkq : Demostración: La a�rmación es trivial si f = 0 o si g = 0: Supongamos pues que ambas funciones son distintas de cero. Para cada x 2 [a; b]; de�nimos números reales positivos ax := jf(x)j kfkp y bx := jg(x)j kgkq : Aplicando la desigualdad de Young (Lema 2.11) obtenemos jf(x)g(x)j kfkp kgkq = jaxbxj � 1 p apx + 1 q bqx = jf(x)jp p kfkpp + jg(x)jq q kgkqq ; e integrando ambos lados de esta desigualdad obtenemosR b a jf(x)g(x)j dx kfkp kgkq � R b a jf(x)jp dx p kfkpp + R b a jg(x)jq dx q kgkqq = 1 p + 1 q = 1. Finalmente, multiplicando ambos lados por kfkp kgkq obtenemos la desigualdad desea- da. Es fácil ver que también vale la desigualdad de Hölder kfgk1 � kfk1 kgk1 [Ejercicio 2.45]. A partir de la desigualdad de Hölder se obtiene la desigualdad de Minkowski4. Proposición 2.19 (Desigualdad de Minkowski para integrales) Sea p 2 [1;1]: Entonces, kf + gkp � kfkp + kgkp 8f; g 2 C0[a; b]: Demostración: Los casos p = 1;1 se dejan como ejercicio [Ejercicio 2.44]. Sea p 2 (1;1): Si f = 0 la a�rmación es inmediata. Supongamos pues que f 6= 0: Sea h(x) := (jf(x)j + jg(x)j)p�1: Aplicando la desigualdad de Hölder para integrales (Proposición 2.18) a las funciones f; h, y g; h respectivamente, obtenemosZ b a jf(x)j (jf(x)j+ jg(x)j)p�1dx � kfkp �Z b a (jf(x)j+ jg(x)j)p � 1 q ;Z b a jg(x)j (jf(x)j+ jg(x)j)p�1dx � kgkp �Z b a (jf(x)j+ jg(x)j)p � 1 q ; y sumando estas desigualdades concluímos queZ b a (jf(x)j+ jg(x)j)pdx � � kfkp + kgkp ��Z b a (jf(x)j+ jg(x)j)p � 1 q : Dividiendo ambos lados de esta desigualdad entre�Z b a (jf(x)j+ jg(x)j)p � 1 q y usando la desigualdad del triángulo para números reales jf(x) + g(x)j � jf(x)j+jg(x)j y la monotonía de la integral obtenemos kf + gkp = �Z b a jf(x) + g(x)jp dx � 1 p � �Z b a (jf(x)j+ jg(x)j)p dx � 1 p � kfkp + kgkp ; como a�rma el enunciado. Notación 2.20 Con el �n de distinguir cuál de todas estas normas estamos consideran- do, usaremos la notación C0p [a; b] := (C0[a; b]