Resulta difícil decidir a partir de la definición si un conjunto es compacto o no lo es. A continuación daremos una caracterización sencilla de los subconjuntos compactos de Rn: Probaremos que son precisamente aquellos que son cerrados y acotados. A este resultado se le conoce como el Teorema de Heine-Borel, aunque su paternidad es más complicada. Empezaremos probando la siguiente afirmación. Proposición 4.12 El cubo cerrado Q := f(x1; :::; xn) 2 Rn : xi 2 [−r; r], i = 1; :::ng; r > 0; es compacto. Demostración: Argumentando por contradicción, supongamos que Q no es compacto. Entonces existe una cubierta abierta C = fUi : i 2 Ig de Q en Rn tal que ningún subconjunto finito de C es cubierta de Q. En consecuencia, si subdividimos a Q en 2n cubos cerrados de lado r; se cumple que al menos uno de ellos, llamémoslo Q1; no está contenido en la unión de un número finito de elementos de C. Subdividamos ahora Q1 en 2n cubos cerrados de lado r2 y repitamos este argumento para obtener una sucesión decreciente cubos cerrados Q ⊇ Q1 ⊇ ⋯ ⊇ Qk ⊇ ⋯; tales Qk es un cubo de lado r2k−1 y Qk no está contenido en la unión de ningún subconjunto finito de C. Denotemos por ck = (ck1; :::; ckn) al centro de Qk: Entonces, ∀ki − xi ≤ r2k 8x = (x1; :::; xN) 2 Qk: (4.1) En particular, como cj ∈ Qk para j ≥ k; se tiene que ∀ki − cji ≤ r2k 8j ≥ k; 8i = 1; :::; n: (4.2) Por tanto, para cada i = 1; :::; n; la sucesión (cki) es de Cauchy en R y, en consecuencia, existe ci ∈ R tal que cki → ci en R. Pasando al límite cuando j → 1 en la desigualdad (4.2) obtenemos que ∀ki − ci ≤ r2k 8k; 8i = 1; :::; n: (4.3) Como cki ∈ [−r; r]; se tiene que ci ∈ [−r; r]: Es decir, c := (c1; :::; cn) ∈ Q: Y como C es cubierta de Q, existe Uc ∈ C tal que c ∈ Uc: Dado que Uc es abierto, existe ε > 0 tal que B(c; ε) ⊆ Uc: Ahora bien, si x ∈ Qk; usando las desigualdades (4.1) y (4.3) obtenemos Qk ⊆ B(c; ε) ⊆ Uc si r√n 2k−1 < ε. Esto contradice que Qk no puede ser cubierto por un número finito de elementos de C. Esto demuestra que Q es compacto. El siguiente resultado da una caracterización sencilla de los subconjuntos compactos de Rn: Teorema 4.13 (Heine-Borel) Sea K un subconjunto de Rn: Entonces, K es compacto si y solo si K es cerrado y acotado. Demostración: Por la Proposición 4.7, si K es compacto entonces es cerrado y acotado. Inversamente, supongamos que K es cerrado y acotado. Entonces existe r > 0 tal que K está contenido en el cubo Q := f(x1; :::; xn) 2 Rn : xi 2 [−r; r], i = 1; :::ng; que es compacto. La Proposición 4.9 implica que K también lo es. Otra consecuencia importante de la Proposición 4.12 es el siguiente resultado, que se conoce como el teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema 4.14 (Bolzano-Weierstrass) Toda sucesión acotada en Rn contiene una subsucesión convergente. Demostración: Si (ck) es una sucesión acotada en Rn, entonces existe r > 0 tal que ck ∈ Q para todo k ∈ N; donde Q es el cubo Q := f(x1; :::; xn) 2 Rn : xi 2 [−r; r], i = 1; :::ng; que es compacto. Por la Proposición 4.5, la sucesión (ck) contiene una subsucesión convergente.