Ejercicio 5.50 Sea P1 k=0 ak(x � x0) k; ak 2 R; una serie de potencias con radio de convergencia R > 0: Prueba que la función f : (x0 �R; x0 +R)! R dada por f(x) := 1X k=0 ak(x� x0) k tiene derivadas de todos los órdenes y que la n-ésima derivada f (n) de f está dada por f (n)(x) = 1X k=n k(k � 1) � � � (k � n+ 1)ak(x� x0) k�n; x 2 (x0 �R; x0 +R): En particular se cumple que f (n)(x0) = n!an: