Demostración: Sea fe1; : : : ; emg la base canónica de Rm: Escojemos wj 2 Y tal que Lwj = ej; j = 1; :::;m; y denotamos por W al subespacio vectorial de Y generado por fw1; : : : ; wmg: La función lineal S : Rm ! Y dada por S(x1; :::; xm) := x1w1 + � � �+ xmwm es también continua, ya que su dominio es de dimensión �nita (Ejercicio 4.42). Además, cumple que LSx = x para todo x 2 Rm: En consecuencia, y � SLy 2 kerL para todo y 2 Y y la función � : Y ! V �W; �(y) := (y � SLy; SLy); es lineal y continua (Ejercicio 3.48). Claramente, � es lineal y continua y � � � = idY : Observa que SL(v + w) = SLw = w para todo v 2 V; w 2 W: Por tanto, �(�(v; w)) = (v + w � SL(v + w); SL(v + w)) = (v; w); es decir, � � � = idV�W : Esto prueba que � es un homeomor�smo. Para probar queW es cerrado en Y tomemos una sucesión (yk) enW tal que yk ! y en Y: Como SL es continua, se tiene que yk = SLyk ! SLy: En consecuencia, y = SLy 2 W: Esto prueba que W es cerrado en Y: