11. Demostración: Supongamos que no. Es decir, suponga que existe un número racional x distinto de cero y un número irracional y tal que xy es raci...

11. Demostración: Supongamos que no. Es decir, suponga que existe un número racional x distinto de cero y un número irracional y tal que xy es racional. [Debemos lograr una contradicción.] Por definición de racional, x a b y xy c d para algunos enteros a, b, c y d con b y d diferentes de cero. También a = 0 ya que x es distinto de cero. Sustituyendo, xy (a b)y c d. Resolviendo para y se obtiene y bc ad. Ahora bc y ad son enteros (son productos de enteros) y ad = 0 (por la propiedad del producto cero). Así, por definición de racional y es racional, lo que contradice la suposición de que y es irracional. [Entonces la suposición es falsa y el enunciado es verdadero.]