Teorema 4.2.2
La suma de dos números racionales es racional.
Demostración:
Supongamos que r y s son números racionales. [Debemos demostrar que r s es racional.] Entonces, por definición de racional, r a b y s c d para algunos enteros a, b, c y d con b = 0 y d = 0. Por tanto
r + s = a
b
+ c
d
= ad + bc
bd
por sustitución
por álgebra básica.
Sea p ad bc y q bd. Entonces p y q son enteros ya que los productos y sumas
de los números enteros son números enteros y ya que a, b, c y d son todos números
enteros. También q = 0 por la propiedad del producto cero. Por tanto
r + s = p
q
donde p y q son enteros y q = 0.
Por tanto, r s es racional por definición de un número racional. [Esto es lo que se
quería demostrar.]