¿Son válidas las igualdades √a+ b = √a+ √b y (a+ b)3 = a3 + b3 para cualquier par de números reales a, b? ¿Existen pares de números a, b ∈ R que...

¿Son válidas las igualdades
√a+ b = √a+ √b y (a+ b)3 = a3 + b3
para cualquier par de números reales a, b? ¿Existen pares de números a, b ∈ R que verifiquen alguna de estas igualdades?
Nota: Esta actividad está relacionada con lo propuesto en el ejercicio 5 de las actividades planteadas al final de esta unidad.
1.5 Racionalización
En ciertas expresiones en las que intervienen ráıces es conveniente transformar el numerador o el denominador en un número entero.
Dos fórmulas, que estudiaremos con más detalle en la siguiente unidad, son de utilidad en estos casos. Ambas se verifican aplicando la propiedad distributiva.
1. Cuadrado de un binomio.
(a+ b)2 = (a+ b) · (a+ b) = a2 + 2ab+ b2.
2. Diferencia de cuadrados.
(a+ b) · (a− b) = a2 − b2.
Veamos cómo racionalizar expresiones por medio de los siguientes ejemplos.
El uso total o parcial de este material está permitido siempre que se haga mención expĺıcita de su fuente:
“Curso de Nivelación. Matemática. Notas Teóricas y Gúıa de Actividades.” Departamento de Matemática. UNS.
Unidad 1. Los números reales 15
Ejemplo 1.5.1
Consideremos dos casos en el que tenemos solo una ráız en el denominador. En el primer caso la ráız es cuadrada, es por eso que multiplicamos numerador y denominador por esta misma ráız.
2−√13√3 = (2−√13) ·√3√3 ·√3 = 2√3−√13 · 3√3 = 2√3−√39
3.
Es importante recordar que al multiplicar por un mismo número el numerador y el deno-
minador de una expresión racional, esta expresión no cambia. Vimos esta propiedad al
final de la Sección 1.1.
En el segundo caso la ráız es cúbica. Si bien en las actividades solo se racionalizarán
ráıces cuadradas, presentamos este ejemplo a modo ilustrativo dado que la estrategia es
similar a la presentada en el caso anterior. Para que una ráız cúbica se simplifique debemos
multiplicar numerador y denominador por el cuadrado de dicha ráız.
5+√53√2 = 5+√5ä·√3√2ä23√2·√3√2ä2 = 5·3√4+√5·3√42.
Ejemplo 1.5.2
Veamos ahora dos casos en los que tenemos en el denominador una suma (o resta) con
ráıces. La estrategia es la misma en ambos casos: obtener una diferencia de cuadrados en
denominador.
1.3√2−1√2−2 = (3√2−1)·(√2+2)(√2−2)·(√2+2) = 3(√2)2−√2+2·3√2−2(√2)2−22 = 6+5√2−22 = 4+5√2−2 = −2−52√2.
2.√3−√2√3+√2=(√3−√2)·(√3−√2)(√3+√2)·(√3−√2)=(√3)2−2√3·√2+(√2)2(√3)2−(√2)2=3−2√6+2√3−2=5−2√6.