19. a. Reescriba el siguiente teorema de tres maneras diferentes: como , si entonces , como , (sin utilizar las palabras si o entonces) y como Si , entonces (sin usar un cuantificador universal explícito).
b. Complete los espacios en blanco en la prueba del teorema.

Teorema: La suma de cualquier entero par y cualquier entero impar es impar.

Demostración: Supongamos que m es cualquier número entero par y n es (a) . Por definición de par, m 2r para algún (b) y por definición de impar, n 2s 1 para algún entero s. Por sustitución y álgebra,

m n (c) 2(r s) 1.

Ya que r y s son números enteros, por lo que su suma es r s. Por tanto m n tiene la forma doble de un número entero más uno y así (d) , por definición, de impar.