Autoexamen 1. Utilizando iteración encuentre una fórmula explícita para una sucesión definida de forma recursiva, comience con y utilice sustitució...

Autoexamen
1. Utilizando iteración encuentre una fórmula explícita para una sucesión definida de forma recursiva, comience con y utilice sustitución sucesiva en la en busca de un patrón numérico.
2. En cada paso del proceso de iteración, es importante para eliminar .
3. Si un solo número, por ejemplo a, se suma a sí mismo k veces en uno de los pasos de la iteración, sustituya la suma por la expresión .
4. Si un solo número, por ejemplo a, se multiplica a sí mismo k veces en uno de los pasos de la iteración, sustituya el producto por la expresión .
5. Una sucesión aritmética general a0, a1, a2, . . . con valor inicial a0 y constante fija d satisface la recurrencia real y tiene la fórmula explícita .
6. Una sucesión geométrica general a0, a1, a2, . . . con valor inicial a0 y constante fija r satisface la relación de recurrencia y tiene la fórmula explícita .
7. Cuando una fórmula explícita para una sucesión definida de forma recursiva se ha obtenido por iteración, la exactitud de ésta se puede comprobar por .
Conjunto de ejercicios 5.7
1. La fórmula
1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)
2
es verdadera para todo entero n 1. Utilice este hecho para resolver cada uno de los siguientes problemas:
a. Si k es un número entero y k 2, encuentre una fórmula para la expresión 1 2 3 . . . (k ฀ 1).
b. Si n es un entero y n 1, encuentre una fórmula para la expresión 3 2 4 6 8 . . . 2n.
c. Si n es un entero y n 1, encuentre una fórmula para la expresión 3 3 2 3 3 . . . 3 n n.
2. La fórmula
1 + r + r 2 + · · · + r n = r n+1 − 1
r − 1
5.7 Solución por iteración de las relaciones de recurrencia 315
es verdadero para todos los números reales r excepto para r 1 y para todo entero n 0. Utilice este hecho para resolver cada uno de los siguientes problemas:
a. Si i es un entero e i 1, encuentre una fórmula para la expresión 1 2 22 . . . 2i ฀ 1.
b. Si n es un entero y n 1, encuentre una fórmula para la expresión 3n ฀ 1 3n ฀ 2 . . . 32 3 1.
c. Si n es un entero y n 2, encuentre una fórmula para la expresión 2n 2n ฀ 2 3 2n ฀ 3 3 . . . 22 3 2 3 3.
d. Si n es un entero y n 1, encuentre una fórmula para la expresión 2n ฀ 2n ฀ 1 2n ฀ 2 ฀ 2n ฀ 3 . . . (฀1)n ฀ 1 2 (฀1)n.
En cada uno de los ejercicios del 3 al 15 se define en forma recursiva una sucesión. Utilice iteración para inferir una fórmula explícita para la sucesión. Utilice las fórmulas de la sección 5.2 para simplificar sus respuestas siempre que sea posible.
3. ak kak฀1, para todo entero k 1
a0 1
4. bk bk฀1 1 bk฀1, para todo entero k 1
b0 1
5. ck 3ck฀1 1, para todo entero k 2
c1 1
6. dk 2dk฀1 3, para todo entero k 2
dt 2
7. ek 4ek฀1 5, para todo entero k 1
e0 2
8. fk fk฀1 2k , para todo entero k 2
f1 1
9. gk gk฀1 gk฀1 2, para todo entero k 2
g1 1
10. hk 2k ฀ hk฀1, para todo entero k 1
h0 1
11. pk pk฀1 2 3k
p1 2
12. sk sk฀1 2k, para todo entero k 1
s0 3
13. tk tk฀1 3k 1, para todo entero k 1
t0 0
14. xk 3xk฀1 k, para todo entero k 2
x1 1
15. yk yk฀1 k2, para todo entero k 2
y1 1
16. Resuelva la relación de recurrencia obtenida como respuesta al ejercicio 18c) de la sección 5.6.
17. Resuelva la relación de recurrencia obtenida como respuesta al ejercicio 21c) de la sección 5.6.
18. Suponga que d es una constante fija y a0, a1, a2, . . . es una sucesión que satisface la relación de recurrencia ak ak ฀ 1 d, para todos los enteros k 1. Use inducción matemática para demostrar que an a0 nd, para todo entero n 0.
19. A un trabajador se le promete una bonificación si puede aumentar su productividad por dos unidades al día todos los días durante un periodo de 30 días. Si en el día 0 produce 170 unidades, ¿cuántas unidades produce en 30 días para calificar para el bono?
20. Una corredora por objetivos mejora su tiempo en una carrera dada en 3 segundos por día. Si en el día 0 corre la carrera en 3 minutos, ¿qué tan rápido debe correr el día 14 para lograr el objetivo?
21. Supongamos que r es una constante fija y a0, a1, a2, . . . es una sucesión que satisface la relación de recurrencia ak rak ฀ 1, para todo entero k 1 y a0 a. Use inducción matemática para demostrar que an arn, para todo entero n 0.
22. Como se muestra en ejemplo 5.6.8, si un banco paga intereses a una tasa i compuesto m veces al año, entonces la cantidad de Pk al final de k periodos (donde un periodo (1 m)-ésimo de un año) satisface la relación de recurrencia Pk [1 (i m)] Pk ฀ 1 con condición inicial P0 la cantidad inicial depositada. Determine una fórmula explícita para Pn.
23. Suponga que la población de un país aumenta a un ritmo cons-tante de 3% por año. Si la población es de 50 millones en un momento dado, ¿cuál va a ser 25 años más tarde?
24. Una cadena de cartas funciona de la siguiente manera: Una persona envía una copia de la carta a cinco amigos, cada uno de los cuales envía una copia a cinco amigos, cada uno de los cuales envía una copia a cinco amigos y así sucesivamente. ¿Cuántas personas han recibido copias de la carta después de la vigésima repetición de este proceso, suponiendo que ninguna persona recibe más de una copia?
25. Un algoritmo dado de computadora ejecuta el doble de opera-ciones cuando corre una entrada de tamaño k así como cuando corre una entrada de tamaño k ฀ 1 (donde k es un entero que es mayor que 1). Cuando el algoritmo se ejecuta con una entrada de tamaño 1, ejecuta siete operaciones. ¿Cuántas operaciones tiene que ejecutar cuando corre una entrada de tamaño 25?
26. Una persona que ahorra para su jubilación hace un depósito inicial de $1 000 a una cuenta bancaria ganando intereses a una tasa de 3