Teorema 6.2.2(3)a) Una ley distributiva para conjuntos Para todos los conjuntos A, B y C, A (B C) (A B) (A C). Demostração: Supongamos que A ...

Teorema 6.2.2(3)a) Una ley distributiva para conjuntos
Para todos los conjuntos A, B y C, A (B C) (A B) (A C).
Demostração: Supongamos que A y B son conjuntos. Demostración de que A (B C) (A B) (A C): Suponga que x A (B C). Por definición de unión, x A o x B C. Caso 1 (x A): Ya que x A, entonces x A B por definición de unión y también x A C por definición de unión. Por tanto x (A B) (A C) por definición de intersección. Caso 2 (x B C): Dado que x B C, entonces x B y x C por definición de intersección. Ya que x B, x A B y puesto que x C, x A C, ambos por la definición de unión. Por tanto x (A B) (A C) por definición de intersección. En ambos casos, x (A B) (A C). Por tanto A (B C (A B) (A C) por definición del subconjunto. Demostración de que (A B) (A C) A (B C): Suponga que x (A B) (A C). Por definición de intersección, x A B y x A C. Considere los dos casos x A y x A. Caso 1 (x A): Dado que x A, podemos inmediatamente concluir que x A (B C) por definición de unión. En ambos casos x A (B C). Por tanto, por definición de subconjunto (A B) (A C) A (B C). Conclusión: Dado que se han demostrado ambas relaciones de subconjuntos, se deduce por definición de igualdad de conjuntos que A (B C) (A B) (A C).