37. Supongamos que A y B1, B2, B3, … , Bn son conjuntos arbitra- rios. Demostración de que A ∩ ( n⋃ i=1 Bi ) ⊆ n⋃ i=1 (A ∩ Bi ): Suponga que x es u...

37. Supongamos que A y B1, B2, B3, … , Bn son conjuntos arbitra- rios. Demostración de que A ∩ ( n⋃ i=1 Bi ) ⊆ n⋃ i=1 (A ∩ Bi ): Suponga que x es un elemento en A ∩ ( n⋃ i=1 Bi ). [Debemos demostrar que x ∈ n⋃ i=1 (A ∩ Bi ).] Por definición de intersección, x A y x ∈ n⋃ i=1 Bi . Como x n⋃ i=1 Bi , la definición de unión general implica que x Bi para algún i 1, 2, …, n y así, como x A, la definición de intersección implica que x A Bi. Entonces, por definición de unión general, x ∈ n⋃ i=1 (A ∩ Bi ) [que era lo que se quería demostrar]. Demostración de que n⋃ i=1 (A ∩ Bi ) ⊆ A ∩ ( n⋃ i=1 Bi ): Suponga que x es un elemento en n⋃ i=1 (A ∩ Bi ). [Debemos demos- trar que x ∈ A ∩ ( n⋃ i=1 Bi ).] Por definición de unión general, x A Bi para algún i 1, 2, …, n. Así, por definición de inter- sección, x A y x Bi. Como x Bi para algún i 1, 2, …, n, por definición de unión general, x ∈ n⋃ i=1 Bi . Así tenemos que x A y x ∈ n⋃ i=1 Bi , y entonces, por definición de intersección, x ∈ A ∩ ( n⋃ i=1 Bi ) [que era lo que se quería demostrar]. Conclusión: Se han demostrado ambas contenciones, enton- ces por la definición de igualdad entre conjuntos se tiene que A n i 1 Bi n i 1 ( A Bi ).