40. Supongamos que A y B1, B2, B3, …, Bn son conjuntos ar bi tra- rios. Demostración de que n⋃ i=1 (A × Bi ) ⊆ A × ( n⋃ i=1 Bi ): Suponga que (x, y) es cualquier elemento en n⋃ i=1 (A × Bi ). [Debemos demostrar que (x, y) ∈ A × ( n⋃ i=1 Bi ) .] Por definición de unión general, (x, y) A Bi para algún i 1, 2, …, n. Por definición de producto cartesiano, esto implica que 1) x A y 2) y Bi para algún i 1, 2, …, n. Por definición de unión general, 2) implica que ∈ n⋃ i=1 Bi . Así x A y ∈ n⋃ i=1 Bi y así por definición de producto cartesiano, (x, y) ∈ A × ( n⋃ i=1 Bi ) [que era lo que se quería demostrar]: Demostración de que A × ( n⋃ i=1 Bi ) ⊆ n⋃ i=1 (A × Bi ): Suponga que (x, y) es cualquier elemento en A × ( n⋃ i=1 Bi ) . [Debemos demostrar que (x, y) ∈ n⋃ i=1 (A × Bi ).] Por definición de producto cartesiano, 1) x A y 2) ∈ n⋃ i=1 Bi . Por definición de unión general, 2) implica que y Bi para algún i 1, 2, …, n y además, por definición de producto cartesiano, (x, y) A Bi para algún i 1, 2, …, n. De la definición de unión general se tiene que (x, y) ∈ n⋃ i=1 (A × Bi ) [que era lo que se quería demostrar]. Conclusión: Se han demostrado ambas contenciones, entonces de la definición de igualdad de conjuntos se tiene que n⋃ i=1 (A × Bi ) = A × ( n⋃ i=1 Bi ).