El segundo lema dice que cualesquiera dos clases de equivalencia de una relación de equivalencia son ya sea mutuamente disjuntas o idénticas. Lema ...

El segundo lema dice que cualesquiera dos clases de equivalencia de una relación de equivalencia son ya sea mutuamente disjuntas o idénticas. Lema 8.3.3 Si A es un conjunto, R es una relación de equivalencia sobre A y a y b son elementos de A, entonces ya sea [a] [b] o [a] [b]. El enunciado del lema 8.3.3 tiene la forma si p entonces (q o r), donde p es el enunciado “A es un conjunto, R es una relación de equivalencia sobre A y a y b son elementos de A”, q es el enunciado “[a] [b] ” y r es el enunciado “[a] [b]”. Para demostrar el lema, demostraremos el enunciado lógicamente equivalente si (p y no q) entonces r. Es decir, demostraremos lo siguiente: Si A es un conjunto, R es una relación de equivalencia sobre A, a y b son elementos de A y [a] [b] = 0, entonces [a] [b]. Demostración del lema 8.3.3: Suponga que A es un conjunto, R es una relación de equivalencia sobre A, a y b son elementos de A, y [a] [b] = 0. [Debemos demostrar que [a] [b].] Puesto que [a] [b] = 0, existe un elemento x en A tal que x [a] [b]. Por definición de intersección, x [a] y x [b] y así x R a y x R b por definición de clase. Puesto que R es simétrica [es una relación de equivalencia] y x R a, entonces a R x. Pero R es también transitiva [puesto que esta es una relación de equivalencia] y así, ya que a R x y x R b, a R b. Ahora a y b satisfacen la hipótesis del lema 8.3.2. Por tanto, por este lema, [a] [b]. [Esto es lo que se quería demostrar.]