Teorema 8.3.4 Partición inducida por una relación de equivalencia Si A es un conjunto y R es una relación de equivalencia sobre A, entonces las cla...

Teorema 8.3.4 Partición inducida por una relación de equivalencia Si A es un conjunto y R es una relación de equivalencia sobre A, entonces las clases distintas de equivalencia de R forman una partición de A; es decir, la unión de las clases de equivalencia es toda de A y la intersección de cualesquiera dos clases distintas es vacía. La demostración del teorema 8.3.4 se divide en dos partes: primera, una demostración de que A es la unión de las clases de equivalencias de R y segunda, una demostración de que la intersección de cualesquiera dos distintas clases de equivalencia es vacía. La demostración de la primera parte se deduce del hecho de que la relación es reflexiva. La demostración de la segunda parte se deduce del lema 8.3.3. Demostración del teorema 8.3.4: Suponga que A es un conjunto y R es una relación de equivalencia sobre A. Por simplicidad de la notación, suponemos que R tiene sólo un número finito de distintas clases de equivalencia, que se denota por A1, A2, . . . , An donde n es un entero positivo. (Cuando el número de clases es infinito, la demostración es idéntica excepto para la notación). Demostración de que A A1 A2 . . . An: [Debemos demostrar que A A1 A2 . . . An y que A1 A2 . . . An A.] Para demostrar que A A1 A2 . . . An, suponga que x es cualquier elemento de A. [Debemos demostrar que x A1 A2 . . . An.] Por reflexividad de R, x R x. Pero esto implica que x [x] por definición de clase. Puesto que x está en alguna clase de equivalencia, debe estar en una de las distintas clases de equivalencia A1, A2, . . . , o An. Así x Ai para algún índice i y por tanto x A1 A2 . . . An por definición de unión [como se quería demostrar]. Para demostrar que A1 A2 . . . An A, suponga que x A1 A2 . . . An. [Debemos demostrar que x A.] Entonces x Ai para algún i 1, 2,..., n, por definición de unión. Pero cada Ai es una clase de equivalencia de R. Y las clases de equivalencia son subconjuntos de A. Por tanto Ai A y así x [como se quería demostrar]. Puesto que A Al A2 . . . An y Al A2 . . . An A, entonces por definición de igualdad de conjuntos, A A1 A2 . . . An. Demostración de que las distintas clases de R son mutuamente disjuntas: Suponga que Ai y Aj son cualesquiera dos clases distintas de equivalencia de R. [Debemos demostrar que Ai y Aj son disjuntas.] Puesto que Ai y Aj son distintas, entonces Ai = Aj . Y puesto que Ai y Aj son clases de equivalencia de R, deben existir los elementos a y b en A tales que Ai [a] y Aj [b]. Por el lema 8.3.3, ya sea [a] [b] o [a] [b]. Pero [a] = [b] porque Ai = Aj. Por tanto [a] [b] . Así Ai Aj y así Ai Aj son disjuntas [como se quería demostrar].