Conjunto de ejercicios 9.4 1. a. Si se seleccionan 4 cartas de una baraja estándar de 52 cartas, ¿debe haber al menos 2 del mismo palo? ¿Por qué? b...

Conjunto de ejercicios 9.4
1. a. Si se seleccionan 4 cartas de una baraja estándar de 52 cartas, ¿debe haber al menos 2 del mismo palo? ¿Por qué?
b. Si se seleccionan 5 cartas de una baraja estándar de 52 cartas, ¿debe haber al menos 2 del mismo palo? ¿Por qué?
2. a. Si se seleccionan 13 cartas de una baraja estándar de 52 cartas, ¿debe haber al menos 2 de la misma denominación? ¿Por qué?
b. Si se seleccionan 20 cartas de una baraja estándar de 52 cartas, ¿debe haber al menos 2 de la misma denominación? ¿Por qué?
3. Una pequeña ciudad tiene sólo 500 habitantes. ¿Debe haber dos residentes que tengan el mismo cumpleaños? ¿Por qué?
4. En un grupo de 700 personas, ¿debe haber 2 que tengan la misma primer y última iniciales? ¿Por qué?
5. a. Dado cualquier conjunto de cuatro enteros, ¿debe haber dos que tengan el mismo residuo cuando se dividen por 3? ¿Por qué?
b. Dado cualquier conjunto de tres enteros, ¿debe haber dos que tengan el mismo residuo cuando se dividen por 3? ¿Por qué?
6. a. Dado cualquier conjunto de siete enteros, ¿debe haber dos que tengan el mismo residuo cuando se dividen por 6? ¿Por qué?
b. Dado cualquier conjunto de siete enteros, ¿debe haber dos que tengan el mismo residuo cuando se dividen por 8? ¿Por qué?
7. Sea S {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Suponga que se eligen seis enteros de S. ¿Debe haber dos enteros cuya suma es 15? ¿Por qué?
8. Sea T {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Suponga que se eligen cinco enteros de T. ¿Debe haber dos enteros cuya suma es 10? ¿Por qué?
9. a. Si se eligen siete enteros entre 1 y 12 incluso, ¿debe por lo menos uno de ellos ser impar? ¿Por qué?
b. Si se eligen diez enteros entre 1 y 20 incluso, ¿al menos uno de ellos debe ser par? ¿Por qué?
10. Si se eligen n 1 enteros en el conjunto {1, 2, 3, . . . 2n}, donde n es un entero positivo, ¿al menos uno de ellos debe ser impar? ¿Por qué?
11. Si se eligen n 1 enteros del conjunto {1, 2, 3, . . . 2n}, donde n es un entero positivo, ¿al menos uno de ellos debe ser par? ¿Por qué?
12. ¿Cuántas cartas tiene que elegir de una baraja estándar de 52 cartas para asegurarse que al menos 1 carta sea roja? ¿Por qué?
13. Suponga que se avientan juntos seis pares de botas similares en un montón. ¿Cuántas botas individuales debe elegir para asegurarse de obtener un par? ¿Por qué?
14. ¿Cuántos enteros entre 0 y 60 se deben elegir en orden para asegurarse de obtener por lo menos uno que sea impar? ¿Al menos uno que sea par?
15. Si n es un entero positivo, ¿cuántos enteros entre 0 y 2n debe elegir en orden para asegurarse de obtener por lo menos uno que es impar? ¿Al menos uno que es par?
16. ¿Cuántos enteros entre 1 y 100 se deben elegir para asegurarse de obtener uno que sea divisible por 5?
17. ¿Cuántos enteros se deben elegir para asegurarse de que al menos dos de ellos tienen el mismo residuo cuando se divide por 7?
18. ¿Cuántos enteros se deben elegir para asegurarse de que al menos dos de ellos tienen el mismo residuo cuando se divide por 15?
19. ¿Cuántos enteros de 100 a 999 se deben elegir para asegurarse de que al menos dos de ellos tengan un dígito en común? (Por ejemplo, 256 y 530 tienen el dígito común 5.)
20. a. Si se realizan divisiones repetidas entre 20 483 ¿cuántos residuos distintos pueden obtenerse?
b. Cuando se escribe 5 20 483 como un decimal, ¿cuál es la longitud máxima de la sección que se repite en la expansión decimal?
21. Cuando se escribe 683 1 493 como un decimal, ¿cuál es la longitud máxima de la sección que se repite en la expansión decimal?
22. ¿Es 0.101001000100001000001... racional o irracional (donde cada cadena de 0 es uno más que el anterior)?
23. ¿Es 56.556655566655556666... racional o irracional (donde las cadenas de 5 y 6 serán más largas en cada repetición)?
24. Demuestre que dentro de cualquier conjunto de trece enteros elegidos del 2 al 40, hay al menos dos enteros con un divisor común superior a 1.
25. En un grupo de 30 personas, ¿deben al menos 3 haber nacido en el mismo mes? ¿Por qué?
26. En un grupo de 30 personas, ¿deben al menos 4 haber nacido en el mismo mes? ¿Por qué?
27. En un grupo de 2 000 personas, ¿deben al menos 5 tener el mismo cumpleaños? ¿Por qué?
28. Un programador escribe 500 líneas de código de computadora en 17 días. ¿Debe haber al menos 1 día en el que el programador escribió 30 o más líneas de código? ¿Por qué?
29. Una cierta clase de colegio tiene 40 estudiantes. Se sabe que todos los alumnos de la clase son de 17 a 34 años de edad. Desea hacer una apuesta de qué clase contiene al menos x estudiantes de la misma edad. ¿Qué tan grande puede ser x y aún estar seguro de ganar su apuesta?
30. Una colección de monedas de 5¢ contiene doce monedas de 5¢ de 1967, siete monedas de 5¢ centavos de 1968 y once monedas de 5¢ de 1971. Si recoge algunas monedas de 5¢ centavos sin mirar las fechas, ¿cuántas debe tomar para asegurarse de obtener por lo menos cinco monedas de 5¢ del mismo año?
31. Un grupo de 15 ejecutivos deben compartir a 5 asistentes. A cada ejecutivo se le asigna exactamente 1 auxiliar y no se asigna algún asistente a más de 4 ejecutivos. Demuestre que al menos 3 asistentes se asignan a 3 o más ejecutivos.
32. Sea A un conjunto de seis enteros positivos cada uno de los cuales es menor de 13. Demuestre que debe haber dos subconjuntos distintos de A cuyos elementos cuando se suman dan la misma suma. (Por ejemplo, si A {5, 12, 10, 1, 3, 4}, entonces los elementos de los subconjuntos S1 {1, 4, 10} y S2 {5, 10} ambos suman 15.)
33. Sea A un conjunto de seis enteros positivos cada uno de cuales es menor a 15. Demuestre que deben haber dos distintos subconjuntos de A cuyos elementos cuando se suman dan la misma suma.