La definición de gráfica (vea la figura 11.1.1) significa que para todas las x en el dominio de f : y f (x) el punto (x, y) está sobre la gráfi...

La definición de gráfica (vea la figura 11.1.1) significa que para todas las x en el dominio de f : y f (x) el punto (x, y) está sobre la gráfica de f. Gráfica de f (x, f (x)) x f (x) = altura de la gráfica de f en x Figura 11.1.1 Gráfica de una función f Observe que si f (x) se puede escribir como una expresión algebraica en x, la gráfica de la función f es la misma que la gráfica de la ecuación y f (x) en donde x está restringida al dominio de f. Funciones potencia Una función que envía a un número real x a una potencia particular, x a, es llamada una función potencia. En aplicaciones en ciencias computacionales, estamos casi invariable- mente involucrados en situaciones en donde x y a son no-negativos y entonces restringimos nuestra definición a esos casos. Definición Sea a cualquier número real no-negativo. Definimos pa, la función potencia con exponente a, como sigue: pa(x) x a para cada número real no-negativo x. Ejemplo 11.1.1 Gráficas de funciones potencia Dibuje las gráficas de las funciones potencia p0, p1 2, p1 y p2 sobre los mismos ejes coor- denados. Solución La función potencia con exponente cero satisface p0(x) x0 1 para todos los números no-negativos x,* entonces todos los puntos de la forma (x, 1) están sobre la gráfica de p0 para dichas x. Así la gráfica es justamente una semi-recta horizontal de altura 1 sobre el eje horizontal. Similarmente, p1(x) x para todos los números no-negativos x y así la gráfica de p1 consiste de todos los puntos de la forma (x, x) en donde x es no-negativo. Por tanto, la gráfica es una semi-recta de pendiente 1 que sale del (0, 0). Para cada número no-negativo x, p1/2(x) = x1/2 = √ x , entonces cualquier punto con coordenadas (x, √ x), en donde x es no-negativo, está sobre la gráfica de p1 2. Por * Como en la sección 9.7 (vea la página 598), por simplicidad definimos 00 1. 11.1 Funciones de valores reales de una variable real y sus gráficas 719 ejemplo, la gráfica de p1 2 contiene los puntos (0, 0), (1, 1), (4, 2) y (9, 3). Similarmente, p2(x) x2, entonces cualquier punto con coordenadas (x, x2) está sobre la gráfica de p2. Así, por ejemplo, la gráfica de p2 contiene los puntos (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9). Las gráficas de las cuatro funciones se muestran en la figura 11.1.2. x y y = x2 y = x y = x1/2 y = 1 Figura 11.1.2 Gráficas de algunas funciones potencia La función piso Las funciones piso y techo aparecen en muchos contextos de ciencias computacionales. El ejemplo 11.1.2 muestra la gráfica de la función piso. En el ejercicio 6, al final de esta sección, se le pedirá graficar la función techo. Ejemplo 11.1.2 Gráfica de la función piso Recuerde que cada número real es un entero por sí mismo o está entre dos enteros conse- cutivos: Para cada número real x, existe un entero único n tal que n x n 1. El piso de un número es el entero inmediatamente a su izquierda sobre la recta numérica. Más formalmente, la función F está definida por la regla: Para cada número real x, F(x) = ⌊x⌋ el más grande entero que es menor o igual que x el único entero n tal que n x n 1. Grafique la función piso. Solución Si n es cualquier entero, entonces para cada número real x en el intervalo n x n 1, el piso de x, x , es igual a n. Así sobre cada uno de dichos intervalos, la gráfica de la función piso es horizontal; para cada x en el intervalo, la altura de la gráfica es n. Se sigue que la gráfica de la función piso consiste de segmentos de recta horizontales, semejantes a una escalera, como se indica en la figura 11.1.3. Los círculos abiertos en el extremo derecho de cada escalón se utilizan para mostrar que esos puntos no están sobre la gráfica. 720 Capítulo 11 Análisis de la eficiencia de un algoritmo x y y = x 1–1–2–3–4–5 2 3 54 –1 1 2 3 –2 –3 Figura 11.1.3 Gráfica de la función piso Graficando funciones definidas sobre conjuntos de enteros Muchas funciones valuadas en los reales, empleadas en ciencias computacionales, están definidas sobre conjuntos de enteros y no sobre intervalos de números reales. Supongamos que conoce la gráfica de una función dada por cierta fórmula sobre un intervalo de núme- ros reales. Puede obtener la gráfica de la función, definida por la misma fórmula, en los enteros en el intervalo si selecciona en la gráfica sólo aquellos puntos cuya primera coor- denada es un entero. Por ejemplo, si f es la función definida por la misma fórmula que la función potencia p1, pero teniendo como su dominio el conjunto de enteros no-negativos, entonces f (n) n para todos los enteros no-negativos n. Las gráficas de p1, reproducidas del ejemplo 11.1.2 y f se muestran a continuación una junto a la otra. 1 2 3 4 1 2 3 4 Gráfica de p 1 en donde p 1 (x) = x para todos los números reales no-negativos x. Gráfica de f en donde f(n) = n para todos los enteros no-negativos n. Ejemplo 11.1.3 Gráfica de una función definida sobre un conjunto de enteros Considere la versión, valuada en los enteros, de la función potencia p1 2. En otras palabras, defina una función g por la fórmula g(n) n1 2 para todos los enteros no-negativos n. Dibuje la gráfica de g. Solución Observe la gráfica de p1 2 indicada en la figura 11.1.2. Dibuje la gráfica de g repro- duciendo sólo los puntos sobre la gráfica de p1 2 cuyas primeras coordenadas sean enteros. Así, para cada entero no-negativo n, el punto (n, n1 2) está sobre la gráfica de g. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 Gráfica de g en donde g(n) = n1/2 para todos los enteros no-negativos n. Gráfica de un múltiplo de una función Un múltiplo de una función se obtiene al multiplicar cada valor de la función por un número fijo. Para entender el concepto de la notación O (o la notación O), es útil comprender la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de un múltiplo de la función. Definición Sea f una función de una variable real valuada en los reales y sea M cualquier número real. La función M f, llamada el múltiplo de f por M o M veces f, es la función valuada en los reales con el mismo dominio que f y definida por la regla (M f)(x) M (f (x)) para todas las x dominio de f. Si se conoce la gráfica de una función, entonces es fácil deducir la gráfica de cualquier múltiplo. Específicamente, si f es una función y M es un número real, la altura de la gráfica de Mf en cualquier número real x es M veces la cantidad f (x). Para trazar la gráfica de M f a partir de la gráfica de f, dibuje las alturas de M (f (x)) sobre la base del conocimiento de M y la inspección visual de las alturas f (x). Ejemplo 11.1.4 Gráfica de un múltiplo de una función Sea f la función cuya gráfica se muestra a continuación. Trace la gráfica de 2 f. Gráfica de f y 1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6 1 –1 –2 2 Solución En cada número real x, obtenga la altura de la gráfica de 2 f midiendo la altura de la gráfica de f en x y multiplicando ese número por 2. El resultado es la siguiente gráfica. Observe que en general las formas de f y 2 f son muy similares