Entonces m y n son enteros tales que m 0 y n 0 y 1 m + 1 n = 1, 2 + 1 2 = 1, que es un entero. Por ejemplo, sea n 7. Entonces n es un entero tal...

Entonces m y n son enteros tales que m 0 y n 0 y 1 m + 1 n = 1, 2 + 1 2 = 1, que es un entero. Por ejemplo, sea n 7. Entonces n es un entero tal que n 5 y 2n ฀ 1 127, que es primo. Por ejemplo, 25, 9 y 16 todos son cuadrados perfectos, porque 25 52, 9 32 y 16 42 y 25 9 16. Así 25 es un cuadrado perfecto que se puede escribir como la suma de otros dos cuadrados perfectos. Contraejemplo: Sean a ฀2 y b ฀1. Entonces a b porque ฀2 ฀1, pero a2 b2 porque (฀2)2 4 y (฀1)2 1 y 4 1. [Así la hipótesis del enunciado es verdadera pero su conclusión es falsa.] Esta propiedad es verdadera para algunos enteros y es falsa para otros enteros. Por ejemplo, si a 0 y b 1, la propiedad es verdadera porque (0 1)2 02 12, pero si a 1 y b 1, la propiedad es falsa porque (1 1)2 4 y 12 12 2 y 4 = 2. Sugerencia: Esta propiedad es verdadera para algunos enteros y falsa para otros enteros. Para justificar esta respuesta se necesita encontrar ejemplos de ambos casos. 2 = 12 + 12, 4 = 22, 6 = 22 + 12 + 12, 8 = 22 + 22, 10 = 32 + 12, 12 = 22 + 22 + 22, 14 = 32 + 22 + 12, 16 = 42, 18 = 32 + 32 = 42 + 12 + 12, 20 = 42 + 22, 22 = 32 + 32 + 22, 24 = 42 + 22 + 22. a. enteros m y n, si m es par y n es impar, entonces m n es impar. enteros pares m y enteros impares n, m n es impar. Si m es cualquier entero par y n es cualquier entero impar, entonces m n es impar. b. (a) cualquier entero impar (b) entero r (c) 2r (2s 1) (d) m n es impar. a. Si un entero es mayor que 1, entonces su recíproco está entre 0 y 1. Inicio de la demostración: Supongamos que m es cualquier entero tal que m 1. Conclusión a demostrarse: 0 1 m 1. a. Si el producto de dos enteros es 1, entonces ambos son 1 o ambos son ฀1. Inicio de la demostración: Supongamos que m y n son cua- lesquiera enteros con mn 1. Conclusión a demostrarse: m n 1 o m n ฀1. A continuación se presentan dos versiones de una demostración correcta para ilustrar algo de la variedad existente. Demostración 1: Suponga que n es cualquier [particular arbi- trariamente elegido] entero par. [Debemos demostrar que ฀n es par.] Por definición de número par, n 2k para algún entero k. Multiplicando ambos lados por ฀1 se obtiene que: ฀n ฀(2k) 2(฀k). Sea r ฀k. Entonces r es un entero porque r ฀k (฀1)k, ฀1 y k son enteros y el producto de dos enteros es un entero. Así que, ฀n 2r para algún entero r y así ฀n es par [que era lo que se quería demostrar]. Demostración 2: Supongamos que n es cualquier entero par. Por definición de número par, n 2k para algún entero k. Entonces: ฀n ฀2k 2(฀k). Pero ฀k es un entero ya que es el producto de los enteros ฀1 y k. Así ฀n es igual a dos veces algún entero y entonces ฀n es par por definición de número par. Demostración: Supongamos que a es cualquier entero par y que b es un entero impar arbitrario. [Debemos demostrar que a ฀ b es impar.] Por definición de par e impar, a 2r y b 2s 1 para algunos enteros r y s. Por sustitución y álgebra, a ฀ b 2r ฀(2s 1) 2r ฀ 2s ฀ 1 2(r ฀s ฀1) 1. Sea t r ฀ s ฀ 1. Entonces t es un entero porque las diferencias de enteros son enteros. Así a ฀ b 2t 1, donde t es un entero y así, por definición de impar, a ฀ b es impar [que era lo que se quería demostrar]. Sugerencia: La conclusión que se demostrará es que la verdadera cantidad es impar. Para demostrar esto, necesita demostrar que la cantidad es igual a dos veces algún entero más uno. Demostración: Supongamos que n es cualquier [particular pero arbitrariamente elegido] entero impar. [Debemos mostrar que 3n 5 es par.] Por definición de impar, existe un entero r tal que n 2r 1. Entonces 3n + 5 = 3(2r + 1) + 5 = 6r + 3 + 5 = 6r + 8 = 2(3r + 4) por sustitución por álgebra. Sea t 3r 4. Entonces t es un entero porque productos y sumas de enteros son enteros. Entonces, 3n 5 2t, en donde t es un entero y así, por definición de par, 3n 5 es par [que era lo que se quería demostrar] Demostración: Supongamos que k es cualquier [particular pero arbitrariamente elegido] entero impar y m es un entero par arbitrario. [Debemos demostrar que k2 m2 es impar.] Por definición de par e impar, k 2a 1 y m 2b para algunos enteros a y b. Entonces k2 + m2 = (2a + 1)2 + (2b)2 = 4a2 + 4a + 1 + 4b2 = 4(a2 + a + b2) + 1 = 2(2a2 + 2a + 2b2) + 1 por sustitución por álgebra. Pero 2a2 2a 2b2 es un entero porque es la suma de productos de enteros. Así k2 m2 es el doble de un entero más 1, entonces k2 m2 es impar [que era lo que se quería demostrar]. Demostración: Suponga que n es cualquier entero par. Entonces n 2k para algún entero k. Por tanto: (฀1)n (฀1)2k ((฀1)2)k 1k [por las leyes de los exponentes del álgebra]. Que era lo que se quería demostrar. La negación del enunciado es “Para todos los enteros m 3, m2 ฀ 1 no es primo”. Demostración de la negación: Supongamos que m es un entero arbitrario con m 3. Por álgebra básica, m2 ฀ 1 (m฀1)(m 1). Como m 3, tanto m ฀ 1 como m 1 son enteros positivos mayores que 1 y cada uno es más pequeño que m2 ฀ 1. Así m2 ฀ 1 es el producto de dos enteros positivos más pequeños, cada uno mayor que 1 y entonces m2 ฀ 1 no es primo. La prueba incorrecta demuestra justamente que el teorema con- tinua siendo válido en caso de que k 2. Una prueba real debe demostrar que es correcto para todos los enteros k 0. El error en la “prueba” es que el mismo símbolo, k, se utiliza para representar dos cantidades diferentes. Colocando m 2k y n 2k 1, la prueba implica que n m 1 y así se deduce la conclusión sólo para esta situación. Cuando m 4 y n 17, por ejemplo, los cálculos en la prueba indican que n ฀ m 1, pero realmente n ฀ m 13. En otras palabras, la prueba no deduce la conclusión para un entero par m y un entero impar n arbitrariamente elegidos, así que es inválida. Esta prueba incorrecta exhibe razonamiento circular. Las palabras puesto que en la tercera frase están completamente injustificadas. La segunda frase sólo dice qué pasa si k2 2k 1 es compuesta. Pero en ese punto de la prueba, no se ha establecido que k