Supongamos que m y n son particulares, pero se eligen arbitrariamente, números pares enteros. Entonces m 2r para algún entero r,(1) y n 2s para a...

Supongamos que m y n son particulares, pero se eligen arbitrariamente, números pares enteros. Entonces m 2r para algún entero r,(1) y n 2s para algún entero s.(2) Por tanto m n 2r 2s por sustitución 2(r s)(3) al factorizar el 2. Ahora r s es un número entero(4) y por tanto 2(r s) es par (5). Así m n es par. El desarrollo siguiente de la demostración muestra cómo cada uno de los pasos numerados se justifica con argumentos que son válidos por el modus ponens universal. 1. Si un número entero es par, entonces es igual a dos veces un número entero. m es un entero par dado. m es igual a dos veces algún entero r. 2. Si un número entero es par, entonces es igual al doble de algún número entero. n es un entero par dado. n es igual a dos veces algún entero s. 3. Si la cantidad es un número entero, entonces es un número real. r y s son enteros dados. r y s son números reales. Para todo a, b y c, si a, b y c son números reales, entonces ab ac a(b c). 2, r, s son números reales dados. 2r 2s 2(r s). 4. Para todo u y , si u y son enteros, entonces u es un número entero. r y s son dos números enteros dados. r s es un número entero. 5. Si un número es igual al doble de un número entero, entonces ese número es par. 2(r s) es igual al doble del número entero r s. 2(r s) es par. Por supuesto, la demostración real de que la suma de números enteros pares es par, no tiene explícitamente la secuencia de los argumentos dados antes. (¡Dios no lo quiera!) Y, de hecho, aún las personas que son buenas en el pensamiento analítico normalmente no son conscientes de su razonamiento de esta manera. Esto se debe a que han absorbido el método de manera tan completa que se ha convertido casi tan automático como respirar. Modus tollens universal Otra regla de suma importancia de la inferencia es el modus tollens universal. Los resultados de la combinación de la instanciación universal con el modus tollens. El modus tollens universal es el corazón de la demostración por contradicción, que es uno de los métodos más importantes de la argumentación matemática. Nota El principio lógico de la instanciación existencial dice que si sabemos que algo existe, podemos darle un nombre. Este principio, se analizará con más detalle en la sección 4.1 ya que nos permite dar a los enteros los nombres r y s. 3.4 Argumentos con enunciados cuantificados 135 Modus tollens universal Versión formal x, si P(x), entonces Q(x). Q(a), para una a dada. P(a). Versión informal Si x hace que P(x) sea verdadero, entonces x hace que Q(x) sea verdadero. a no hace que Q(x) sea verdadero. a no hace que P(x) sea verdadero. Ejemplo 3.4.3 Reconociendo la forma de modus tollens universal Reescriba el siguiente argumento usando cuantificadores, variables y símbolos de predicado. Escriba la premisa mayor en forma condicional. ¿Es este argumento válido? ¿Por qué? Todos los seres humanos son mortales. Zeus no es mortal. Zeus no es humano. Solución La mayor premisa se puede reescribir como x, si x es humano entonces x es mortal. Sea H(x) “x es humano”, sea M(x) “x es mortal” y se establece a Z para Zeus. El argumento se convierte en x, si H(x), entonces M(x) M(Z) H(Z). Este argumento tiene la forma de modus tollens universal y por tanto, es válido. Ejemplo 3.4.4 Esbozo de conclusiones usando modus tollens universal Escriba la conclusión que se puede deducir utilizando modus tollens universal Todos los profesores son distraídos. Tom Hutchins no es distraído. . Solución Tom Hutchins no es un profesor. Prueba de validez de argumentos con enunciados cuantificados La definición intuitiva de validez de argumentos con enunciados cuantificados es la misma que para los argumentos con enunciados compuestos. Un argumento es válido si y sólo si, la verdad de su conclusión se deduce necesariamente de la verdad de sus premisas. La definición formal es la siguiente: Definición Decir que una forma de argumento es válida significa lo siguiente: No importa que predicados particulares se sustituyan por los símbolos del predicado en sus premisas, si los enunciados resultantes de las premisas son todos verdaderos, entonces la conclusión también es verdadera. Un argumento se llama válido si y sólo si, su forma es válida. 136 Capítulo 3 La lógica de enunciados cuantificados Como ya se ha indicado, la validez de la instanciación universal se deduce inmediatamente de la definición del valor de verdad de un enunciado universal. Demostraciones generales formales de validez de los argumentos en el cálculo de predicados están fuera del alcance de este libro. Le presentamos la demostración de la validez del modus ponens universal como un ejemplo para mostrar que tales demostraciones son posibles y para dar una idea de cómo se ven. El modus ponens universal afirma que x, si P(x) entonces Q(x). P(a) para una a dada. Q(a). Para demostrar que esta forma de argumento es válida, supongamos que las premisas mayores y menores son verdaderas. [Debemos demostrar que la conclusión de “Q(a)” también es verdadera]. Por la premisa menor, P(a) es verdadera para un valor de a dado. Por la premisa mayor y la instanciación universal el enunciado “Si P(a), entonces Q(a)” es verdadero para una a dada. Pero por el modus ponens, puesto que los enunciados “Si P(a) entonces Q(a)” y “P(a)” son verdaderos, se deduce que Q(a) es también verdadero. [Esto es lo que se iba demostrar.] La demostración de validez dada anteriormente es abstracta y un tanto sutil. Incluimos la demostración no porque no creamos que sea capaz de realizar estas demostraciones por sí mismo en esta etapa de su estudio. Sino más bien, pretende ser una visión de un tratamiento más avanzado del tema, que puede intentar manejar en los ejercicios 35 y 36 al final de esta sección si lo desea. Una de las paradojas del estudio formal de la lógica es que las leyes de la lógica se utilizan para demostrar que ¡las leyes de la lógica son válidas! En la siguiente parte de esta sección se muestra cómo se pueden utilizar los diagramas para analizar la validez o no validez de los argumentos que contienen enunciados cuantificados. Los diagramas no proporcionan demostraciones totalmente rigurosas de la validez y la no validez y en algunos entornos complejos incluso pueden ser confusos, pero en muchas situaciones son útiles y convincentes. Uso de diagramas para probar validez Considere el enunciado Todos los números enteros son números racionales. O, formalmente, entero n, n es un número racional. Imagine el conjunto de todos los enteros y el conjunto de todos los números racionales como discos. La verdad del enunciado dado se representa colocando el disco de los enteros completo dentro del disco de los racionales, como se muestra en la figura 3.4.1. números racionales enteros Figura 3.4.1 Debido a que los dos enunciados “ x D, Q(x)” y “ x, si x está en D, entonces Q(x)”, son lógicamente equivalentes, ambos se pueden representar con diagramas como el anterior. Tal vez la primera persona en utilizar diagramas como éstos para analizar argumentos fue el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz (que se pronuncia en inglés LIPE-nits) que estaba muy adelantado para su tiempo anticipándose a la lógica simbólica moderna. También desarrolló las ideas principales del cálculo diferencial e integral aproximadamente al mismo tiempo que (e independientemente de) Isaac Newton (1642-1727). Para probar con diagramas la validez de un argumento, represente la verdad de ambas premisas con diagramas. Después analice los diagramas para ver si necesariamente repre- sentan la verdad de la conclusión. Ejemplo 3.4.5 Uso de un diagrama para mostrar la validez Utilice diagramas para mostrar la validez del siguiente silogismo: Todos los seres humanos son mortales. Zeus no es mortal. Zeus no es un ser humano. Solución La premisa mayor es la imagen de la izquierda en la figura 3.4.2 colocando un disco con la etiqueta “seres humanos” dentro de un disco con la etiqueta “mortales”. La premisa menor es la imagen de la derecha en la figura 3.4.2 colocando un punto llamado “Zeus” fuera de la disco con la etiqueta “mortales”. seres humanos mortales Premisa mayor mortales Premisa menor Zeus Figura 3.4.2