Demostración (por inducción matemática fuerte): Aceptemos que la propiedad P(n) sea la frase “an es impar”. Demostración de que P(1) y P(2) son ver...

Demostración (por inducción matemática fuerte): Aceptemos que la propiedad P(n) sea la frase “an es impar”. Demostración de que P(1) y P(2) son verdaderos: Observe que a1 1 y a2 3 y tanto 1 como 3 son impares. Así P(1) y P(2) son verdaderos. Demostración de que para cualquier entero k 2, si P(i) es verdadero para todos los enteros i con 1 i k, entonces P(k 1) también es verdadero. Sea k 2 cualquier entero y supongamos que ai es impar para todos los enteros i con 1 i k. [Esta es la hipótesis de inducción.] Debemos demostrar que ak 1 es impar. Conocemos que ak 1 ak฀1 2ak por definición de a1, a2, a3,…. Aún más, k 1 es menor que k 1 y es mayor o igual que 1 (porque k 2). Así, por la hipótesis de inducción, ak฀1 es impar. También, cada término de la sucesión es un entero (siendo la suma de un producto de enteros), además 2ak es par por definición de par. Por tanto, ak 1 es la suma de un entero impar y de un entero par, así que es impar (por el ejercicio 19, sección 4.1). [Que era lo que se quería demostrar.]