Sea A el conjunto de todos los enteros positivos menores que 1 000 que no son múltiplos de 2 y sea B el conjunto de todos los enteros positivos men...

Sea A el conjunto de todos los enteros positivos menores que 1 000 que no son múltiplos de 2 y sea B el conjunto de todos los enteros positivos menores que 1 000 que no son múltiplos de 5. Los únicos factores primos de 1 000 son 2 y 5, entonces el número de enteros positivos que no tienen factores comunes con 1 000 es N(A B). Sea el universo U el conjunto de todos los enteros positivos menores que 1 000. Entonces Ac es el conjunto de enteros positivos menores que 1 000 que son múltiplos de 2 y B c es el conjunto de enteros positivos menores que 1 000 que son múltiplos de 5 y Ac B c es el conjunto de enteros positivos menores que 1 000 que son múltiplos de 10. Por uno de los procedimientos analizado en la sección 9.1 o 9.2, es fácil encontrar que N(Ac) 499, N(B c) 199 y N(Ac B c ) 99. Así, por la regla de inclusión/exclusión, N (Ac ∪ Bc) = N (Ac) + N (Bc) − N (Ac ∩ Bc) = 499 + 199 − 99 = 599. Pero por la ley de De Morgan, N(Ac B c ) N((A B)c ) y por tanto N((A B)c ) 599. (*) Ahora, como (A B)c U ฀ (A B), por la regla de resta tenemos N((A B)c ) N(U ) ฀ N(A B). (**) Igualando los miembros derechos de (*) y (**) obtenemos que N(U ) ฀ N(A B) 599. Y como N(U ) 999, concluimos que 999 ฀ N(A B) 599, o, equivalentemente, N(A B) 999 ฀ 599 400. Entonces hay 400 enteros positivos menores que 1 000 que no tienen factores comunes con 1 000.