ura 4.7: Equipotenciales paralelas al plano xy (en rojo).
Las equipotenciales son las mostradas en la Figura 4.7, estas superficies son planos paralelos al xy, ya que el potencial depende sólo del valor de la altura z.

II. SOLUCIONES 55
Solución 4.16 P X
a) Se consideran los distintos casos según la distancia r desde el centro de la esfera interior.
• ~E(0 < r < R1)
Dado que el cilindro interior es un conductor,
~E = 0
• ~E(R1 < r < R2)
Considerando la simetría del problema, se puede hacer uso de la Ley de Gauss:¨
S
~E · ~dS = Qenc
ε0
Nótese que no hay carga encerrada en el interior de un radio r < R2, antes de la densidad de carga. Luego se tiene: ¨
S
~E · ~dS = 0 =⇒ ~E = 0
La densidad de carga sobre un conductor puede ser obtenida de
~E(R1) = σ(r = R1)
ε0
r̂ =⇒ σ(r = R1) = 0
• ~E(R2 < r < R3)
Haciendo uso de la Ley de Gauss con un procedimiento análogo al anterior, se tendrá que:¨
S
~E · ~dS = Qenc
ε0
2πˆ
0
hˆ
0
Erdθdz = 1
ε0
rˆ
R2
2πˆ
0
hˆ
0
ρ0rdrdθdz
2πrhE =
ρ0π
(r2 −R2
2)
h
ε0
~E =
ρ0
(r2 −R2
2)
2rε0
r̂
• ~E(R3 < r < R4)
Haciendo un cálculo similar al anterior, pero considerando que como r > R3, la carga encerrada se considerará siempre hasta R3. Luego:¨
S
~E · ~dS = Qenc
ε0
2πˆ
0
hˆ
0
Erdθdz = 1
ε0
R3ˆ
R2
2πˆ
0
hˆ
0
ρ0rdrdθdz
~E =
ρ0
(R2
3 −R2
2)
2rε0
r̂
Por otro lado, ~E(R4) = σ(r=R4)
ε0
(−r̂) =⇒ σ(r = R4) = −ρ0(R2
3−R2
2)
2R4
.
• ~E(R4 < r < R5)
Por tratarse del espacio interior entre conductores,
~E = 0
• ~E(R5 < r)
Como en R5 se tiene un casquete conectado a tierra, para r ≥ R5 el campo se anulará.
Por lo cual σ(r = R5) = 0.
b) La diferencia de potencial esta dada por la integral de camino del campo entre R1 y R4:
∆V = −
R4ˆ
R1
~E · ~dr
= −
R2ˆ
R1
E(R1 < r < R2)dr −
R3ˆ
R2
E(R2 < r < R3)dr −
R4ˆ
R3
E(R3 < r < R4)dr
= −
R3ˆ
R2
ρ0
(r2 −R2
2)
2rε0
dr −
R4ˆ
R3
ρ0
(R2
3 −R2
2)
2rε0
dr
= − ρ0
2ε0


R3ˆ
R2
rdr +
R3ˆ
R2
R2
2
r
dr +
R4ˆ
R3
R2
3 −R2
2
r
dr


= − ρ0
2ε0
(R2
3 −R2
2
2 +R2
2 ln
(R3
R2
) + (R2
3 −R2
2) ln
(R4
R3
))