La condición para que la fuerza ~F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) sea conservativa o irrotacional es decir, que las derivadas cruzadas sean iguales. S...

La condición para que la fuerza ~F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) sea conservativa o irrotacional es decir, que las derivadas cruzadas sean iguales. Si la fuerza deriva de un potencial ~F = ~∇U , la condición ~∇ × ~F = ~0 es equivalente a decir que las derivadas cruzadas del potencial son iguales ∂2U/∂x∂y = ∂2U/∂y∂x, lo cual es cierto en condiciones muy generales (consultar el Teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas). Para encontrar la función potencial U(x, y) de una ecuación exacta (1.12) se procede de la siguiente forma ∂U/∂x = M(x, y) ∂U/∂y = N(x, y) −→ U(x, y) = ∫ M(x, y)dx+ C(y) ∂U/∂y = ∂/∂y (∫ M(x, y)dx+ C(y)) = N(x, y), donde, al integrar ∫ M(x, y)dx la primera vez, hemos añadido una función arbitraria C(y) en vez de una constante C por culpa de la derivada parcial ∂U/∂x. De la segunda ecuación obtenemos C(y) integrando. Si la ecuación es realmente exacta, C ′(y) solo dependerá de y. 1 Una vez obtenida la función potencial U(x, y), la solución general de la ecuación diferencial (1.12) se puede escribir implícitamente como U(x, y) = K =constante o explícitamente como y = g(x,K) si se puede despejar y en función de x de U(x, y) = K. 1a veces se cometen errores de cálculo y se llega a una expresión donde C′(y) = f(x, y) que contradice el hecho de que C(y) solo dependa de y. Esto suele suceder cuando se ha supuesto la ecuación exacta y en realidad no lo es, o debido simplemente a errores de cálculo; si esto pasa, hay que repasar las cuentas. Una ecuación (1.12) que no sea exacta, es decir que no cumpla (1.14), se puede convertir en exacta multiplicándola por lo que se denomina un factor integrante φ(x, y) (recuérdese el caso la ecuación lineal) de manera que φ(x, y)M(x, y)dx+ φ(x, y)N(x, y)dy = M̃(x, y)dx+ Ñ(x, y)dy = 0. (1.15) Imponiendo que ∂M̃/∂y = ∂Ñ/∂x obtendremos ecuaciones para posibles factores integrantes. Normalmente, para simplificar, se ensaya con factores integrantes φ(x) o φ(y) que solo dependan de x o de y. La condición anterior determina en general una familia de factores integrantes. Basta con usar uno de ellos. Ejercicio 1.4.1. Resuelva el ejercicio 1.3.16 encontrando una función U(v, r) para la ecuación exacta (4πkr2v(r)−mg)dr + 4/3πr3kdv = 0. � Ejercicio 1.4.2. Cadena que desliza desde una mesa. Una cadena de longitud L y densidad λ está sobre una mesa, de manera que un trozo de longitud x cuelga y el otro de longitud L − x está sobre la mesa. El peso P = mg = λxg de la parte que cuelga ejerce una fuerza que hace que la cadena deslice sobre la mesa (supongamos sin rozamiento) y caiga al suelo. La ecuación de Newton establece que dp/dt = F ⇒ d/dt(mv) = d/dt(λxẋ) = λẋ2 + λxẍ = P = λxg. Considerar la velocidad v como una función de x, de manera que la aceleración ẍ = dv/dt = dv/dx dx/dt = v dv/dx. Demostrar que la ecuación anterior no es exacta pero admite un factor integrante φ(x) = x. Encontrar entonces la función U(x, v) =constante. Si L = 4 y en el instante inicial x(0) = 1 y v(0) = 0, demostrar que v(x) = √(2g/3)√(x3 − 1/x). Con un programa de integración numérica, demostrar entonces que el tiempo que tarda la cadena en abandonar la mesa es aproximadamente T = 0,54 segundos � 1.5. Ecuaciones homogéneas Si una ecuación tiene la forma: dx/dt = F(x/t) (1.16) se dice que es homogénea y se puede resolver haciendo la transformación x = vt (veáse la siguiente sección) de manera que (1.16) se transforma en: v + t dv/dt = F(v)⇒ dt/t = dv/(F(v)− v) que pasa a ser separable. Algunos problemas aplicados donde aparecen estas ecuaciones Ejercicio 1.5.1. Trayectorias de vuelo. Supongamos que un aeroplano parte del punto (x, y) = (a, 0), localizado al este del destino (x, y) = (0, 0) al que intenta llegar. El aeroplano viaja con velocidad constante v0 relativa al viento, el cual está soplando hacia el norte con velocidad constante ~w = (0, w0). Consideremos que el piloto mantiene la dirección de vuelo hacia el origen, de modo que la velocidad del aeroplano es ~v = −v0r̂, con r̂ = (x,y)√(x2+y2) el vector de posición unitario del avión. Denotando por ~V(t) = (ẋ, ẏ) = ~v+ ~w) la velocidad del avión respecto a tierra, y despejando ẏ/ẋ = dy/dx, demuestra que se llega a una ecuación homogénea del tipo dy/dx = f(y/x). Realiza el cambio de variable u = y/x y resuelve la correspondiente ecuación. Impón la condición inicial y(a) = 0 y demuestra que el avión sigue la trayectoria dada por y(x) = a/2[(x−a)1−k − (x−a)1+k], k = w0/v0 Nótese que sólo en el caso k < 1 el avión llegará a su destino y(0) = 0 ¿por qué?. ¿Cuál es la distancia máxima hacia el norte ymax que el viento desvía al aeroplano? � Ejercicio 1.5.2. Espejo parabólico. Sea el espejo E cuya sección transversal viene descrita por la curva azul de la figura 1.3 en el plano x−y. Use el hecho de el ángulo de incidencia θ, respecto a la recta tangente T a la curva E en el punto (x, y), es igual al ángulo de reflexión, y que además φ = 2θ (¿por qué?), para obtener que la ecuación diferencial que determina la curva y(x) del espejo E viene dada por la ecuación diferencial tan(θ) = dy/dx = −x+√(x2 + y2)/y. Compruebe que se trata de una ecuación homogénea y resuélvala. Demuestre que la solución general es una parábola (“espejo parabólico”), en particular x = −a + y2/4a para la curva que pasa por (x, y) = (−a, 0). � 1.6. Cambio de variable Ya hemos visto algun ejercicio donde cambiamos de variable independiente t → x (tiempo por espacio) de manera que la derivada v̇ = dv/dt (aceleración) de variable dependiente v = ẋ (velocidad) pasa a ser dv/dt = dv/dx dx/dt = v dv/dx. Veamos otro. Ejercicio 1.6.1. Velocidad de escape. Para grandes alturas, la fuerza de la gravedad ya no es constante sino F = GmM/r2, donde m es la masa del objeto (pongamos un cohete), M la masa de la tierra, G la constante de la gravitación y r la distancia al centro de la tierra. Considerando la velocidad v del cohete como una función de la distancia r, resolver mv̇ = F y calcular la velocidad inicial v(R) en la superficie de la tierra (con R el radio de la tierra) para que el cohete pueda escapar (es decir v(∞) = 0 �