a) ∂Q(~r, t) ∂t = −~∇ · ~J(~r, t) 3la conductividad térmica κ depende en general de la dirección y la posición (es decir, es una matriz o, mejor...

a) ∂Q(~r, t) ∂t = −~∇ · ~J(~r, t) 3la conductividad térmica κ depende en general de la dirección y la posición (es decir, es una matriz o, mejor dicho, un “tensor”). No obstante, nosotros consideraremos sólo materiales homogéneos e isótropos para los cuales κ es escalar y constante 80 Caṕıtulo 2. Sistemas de ecuaciones y ecuaciones lineales de orden superior V1 V2 V3V4 ❄ ✲ ❄ ✛ ✻ ❄ ke, ce k12 k23 k34 k41 ks Figura 2.31: Mezclas múltiples establece entonces que la cantidad de calorQ que ingresa o abandona por unidad de tiempo un elemento infinitesimal de volumen dado localizado en ~r es igual a la divergencia (flujo por unidad de volumen) del vector corriente de calor a través de las paredes. Sabiendo que la relación entre calor y temperatura viene dada a través de la expresión Q = cρT , donde ρ denota la densidad y c la capacidad caloŕıfica del material, nos queda la siguiente Ecuación en Derivadas Parciales: ∂T (~r, t) ∂t = − 1 cρ ~∇ ~J(~r, t) = κ cρ ~∇2T (~r, t) que describe la evolución en el tiempo de la distribución de temperaturas en un material. A esta ecuación hay que unir condiciones iniciales y ciertas condiciones de contorno. Véase más adelante la sección 7.2 para una resolución exacta. Aqúı abordaremos la aproxima- ción discreta, que reduce la ecuación en derivadas parciales a un sitema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. En el ejemplo 1.2.10 hemos considerado el caso más simple que se corresponde con la ley de Newton para el enfriamiento de una sustancia, según la cual, la velocidad a la que se enfŕıa una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de dicha sustancia T y la del aire Ta de la forma: dT (t) dt = κ(Ta− T (t)). Estudiemos varios casos particulares más complicados. rior con extremo derecho a temperatura T (L, t) = T3(t) = 100 sen(t). � = κN2 x cσL2 x (Ti−1,j − 2Ti,j + Ti+1,j) + κN2 y cσL2 y (Ti,j−1 − 2Ti,j + Ti,j+1), (2.35) i = 1, . . . , Nx − 1, j = 1, . . . , Ny − 1. Tomando por ejemplo Lx = Ly y Nx = Ny (placa cuadrada), en el estado estacionario se verifica: Ṫi,j(t) = 0⇒ Ti,j = (Ti+1,j + Ti−1,j + Ti,j+1 + Ti,j−1)/4, (2.36) es decir, la temperatura en cada punto es la media aritmética de los puntos adyacentes. Ejercicio 2.6.19. (Práctica de ordenador) Considérese la placa de la figura 2.32. Los lados de la placa coincidentes con los ejes X e Y se mantienen a temperatura de 100 grados cent́ıgrados, mientras que los dos lados restantes se mantienen a cero grados. Tomando como condición inicial Ti,j = 50 grados, i, j = 1, 2, y L = 3, σ = κ = c = 1, describa la evolución de la temperatura en el tiempo. ¿Cuál es la temperatura a largo plazo (estado estacionario)?. � 2.6. Sistemas de EDOs lineales con coeficientes constantes: aplicaciones f́ısicas 83 6 - 100 o 100 o 0 o 0 o T 1;1 T 2;1 T 1;2 T 2;2 X Y Figura 2.32: Distribución de temperaturas en una placa Ejercicio 2.6.20. (Práctica de ordenador) Considérese ahora una placa como la de figura 2.32 pero con (Nx − 1) ∗ (Ny − 1) = 5 ∗ 5 = 25 puntos interiores, en vez de 4 como antes. Los lados de la placa coincidentes con los ejes X e Y se mantienen a temperatura de 100 grados cent́ıgrados, mientras que los dos lados restantes se mantienen a cero grados. Calcule la temperatura en el estado estacionario Ti,j(∞) y dibuje las isotermas con ayuda del comando ListContourPlot (en la página 40 de la referencia [5]). � 2.6.5. Modelo de Lotka-Volterra: dos especies en competencia Vamos ahora a ver un modelo propuesto, independientemente, por Lotka y Volterra que describe la competencia entre dos especies. Se trata de dos especies que viven cerca y comparten necesidades básicas: espacio, recursos, etc. En ocasiones, sólo las más fuertes sobreviven, mientras que la especie competidora más débilv evoluciona hasta su extin- ción. Este es el denominado “Principio de exclusión competitiva”. Una especie se impone porque sus miembros son más eficaces a la hora de encontrar y explotar los recursos, lo que conduce a un aumento de la población. Indirectamente, esto significa que la pobla- ciónn competidora encuentra con dificultad los mismos recursos y no puede crecer hasta su máximo tamaño como cuando está sola. El modelo de Lotka y Volterra describe la competencia entre las dos especies sin referencia directa a los recursos que comparten y descansa sobre los siguientes supuestos: 1. En ausencia de competidores, cada población sigue un modelo loǵıstico 2. Cada especie contribuye al decrecimiento de la tasa de crecimiento relativo de la otra en una cantidad proporcional a la población de la primera. Los dos supuestos anteriores conducen al modelo siguiente: Ṗ1 = k1P1(M1 − P1)− β12k1P1P2 Ṗ2 = k2P2(M2 − P2)− β21k2P2P1 (2.37) Haciendo los cambios de variable x = P1/M1, y = P2/M2, τ = k1M1t, podemos poner ẋ = x(1− x− β12 M2 M1 y) ẏ = k2M2 k1M1 y(1− y − β21 M1 M2 x) (2.38) y llamando q = k2M2 k1M1 , b12 = β12 M2 M1 , b21 = β21 M1 M2 llegamos a ẋ = x(1 − x− b12y) ẏ = qy(1− y − b21x). (2.39) Los puntos de equilibrio son (x, y) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), ( 1− b12 1− b12b21 , 1− b21 1− b12b21 ) . El último pertenece al primer cuadrante siempre que: b12, b21 < 1 b12, b21 > 1 Caṕıtulo 3 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias Bibliograf́ıa: Ver Caṕıtulo 5 de [1] y Caṕıtulo 5 de [2] 85 86 Caṕıtulo 3. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias 3.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios Nos restringiremos fundamentalmente a ecuaciones diferenciales lineales homogeneas de orden 2 a2(x)y ′′ + a1(x)y ′ + a0(x)y = 0, (3.1) con coeficientes variables aj. Este tipo de ecuaciones surgen mayormente al reducir ecua- ciones en derivadas parciales por el método de separación de variables (véase caṕıtulo 7) a una sola variable independiente x, generalmente en coordenadas curvilineas (ciĺındricas, esfericas, etc) como por ejemplo un radio x = r. En este caṕıtulo denotaremos por y(x) a la variable dependiente. Dividiendo por a2(x) (en la región donde a2 sea diferente de cero), escribiremos la anterior ecuación en forma estándar: y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0 . (3.2) Definición 3.1.1. (Puntos ordinarios y singulares) Se dice que x0 es un punto ordinario de (3.2) si tanto P como Q son anaĺıticas en x0, es decir, si ambas pueden representarse mediante series de potencias en (x − x0) con un radio de convergencia R > 0. Un punto que no es ordinario, se denomina singular. Para resolver la ecuación (3.2) en torno a un punto ordinario x0, ensayaremos una serie de potencias de la forma